Модуль непрерывности функции

Материал из Викиконспекты
Версия от 10:26, 16 ноября 2010; 192.168.0.2 (обсуждение) (Отмена правки 4901 участника 192.168.0.2 (обсуждение))
Перейти к: навигация, поиск
Эта статья находится в разработке!


Определение:
Функция [math]\omega: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+[/math] называется модулем непрерывности, если:
  1. [math]\omega (0) = 0[/math]
  2. [math]\omega (t_1) \lt \omega (t_2)[/math] для [math]t_1, t_2: 0 \le t_1 \lt t_2[/math]
  3. [math]\omega (t_1 + t_2) \le \omega(t_1) + \omega(t_2)[/math]


Свойства модулей непрерывности

1) [math]\forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow \omega (nt) \le n \omega (t)[/math]
Доказательство ведётся по индукции. Для [math]n = 1[/math] неравенство тривиально.
Пусть утверждение верно для [math]n[/math]. Тогда [math]\omega((n + 1) t) = \omega(nt + t) \le \omega(nt) + \omega(t) \le n \omega(t) + \omega(t) = (n + 1) \omega (t)[/math], что и требовалось доказать.

2) [math]\forall \lambda \gt 0[/math] [math]\omega(\lambda t) \le (1 + \lambda) \omega (t)[/math]

Доказательство: [math]\lambda \le \lfloor\lambda\rfloor + 1[/math]

[math]\omega(\lambda t)\:\:\le\:\:\omega((\lfloor\lambda\rfloor + 1) t)\ \ \le\ \ (\lfloor\lambda\rfloor + 1)\omega (t)\ \ \le\ \ (1 + \lambda) \omega (t)[/math]