Использование обхода в глубину для проверки связности

Алгоритм проверки наличия пути между двумя вершинами

Задача:

Дан граф [math]G[/math] и две вершины [math]s[/math] и [math]t[/math]. Необходимо проверить, существует ли путь из вершины [math]s[/math] в вершину [math]t[/math] по рёбрам графа [math]G[/math].

Алгоритм

Небольшая модификация алгоритма обхода в глубину. Смысл алгоритма заключается в том, чтобы запустить обход в глубину из вершины [math]s[/math] и проверять при каждом посещении вершины, не является ли она искомой вершиной [math]t[/math]. Так как в первый момент времени все пути в графе "белые", то если вершина [math]t[/math] и была достижима из [math]s[/math], то по лемме о белых путях в какой-то момент времени мы зайдём в вершину [math]t[/math], чтобы её покрасить. Время работы алгоритма [math]O(M + N)[/math].

Реализация

bool[] visited;                                 //массив цветов вершин

bool dfs(u: int):              
    if u == t
        return true;    
    visited[u] = true;                          //помечаем вершину как пройденную
    for v таких, что (u, v) — ребро в G         //проходим по смежным с u вершинам
        if not visited[v]                       //проверяем, не находились ли мы ранее в выбранной вершине
            if dfs(v)
                return true;
    return false;

Алгоритм проверки связности графа G

Задача:

Дан неориентированный граф [math]G[/math]. Необходимо проверить, является ли он связным.

Алгоритм

Заведём счётчик количества вершин, которые мы ещё не посетили. В стандартной процедуре dfs() будем уменьшать счётчик на единицу при входе в процедуру. Запустим алгоритм от некоторой вершины нашего графа. Если в конце работы процедуры dfs() счётчик равен нулю, то мы побывали во всех вершинах графа, а следовательно он связен. Если счётчик отличен от нуля, то мы не побывали в какой-то вершине графа. Работает алгоритм за [math]O(M + N)[/math].

Реализация

bool[] visited;                                //массив цветов вершин
int k = n;                                     //счетчик изначально равен количеству вершин

function dfs(u: int):              
    k--;
    visited[u] = true;                         //помечаем вершину как пройденную
    for v таких, что (u, v) — ребро в G        //проходим по смежным с u вершинам
        if not visited[v]                      //проверяем, не находились ли мы ранее в выбранной вершине
            dfs(v);

Проверка связности вершин в режиме онлайн

Задача:

Дан пустой граф [math]G[/math], состоящий из [math]n[/math] вершин. Поступают запросы, каждый из которых — это пара вершин, между которыми надо добавить ребро. Необходимо в любой момент времени для двух выбранных вершин отвечать на вопрос, являются ли они связанными.

Алгоритм

Описываемая здесь идея довольна проста и будет основываться на структуре данных "система непересекающихся множеств".

В каждом множестве будем хранить компоненты связности графа [math]G[/math]. Тогда ответ на запросы второго типа будет заключаться в определении множеств, в которых находятся данные вершины, т.е. две вершины являются связанными, если они лежат в одной компоненте связности. Изначально все вершины находятся в разных компонентах связности. При добавлении ребра объединяем множества, в которых находятся его концы, если те различны.

См. также

• Обход в глубину, цвета вершин
• Использование обхода в глубину для поиска цикла