| Определение: |
| Матрицей смежности (англ. Adjacency matrix) [math]A=||\alpha_{i,j}||[/math] графа [math]G(V,E)[/math] называется матрица [math]A_{[V\times{}V]}[/math], в которой [math]\alpha_{i,j}[/math] — вес ребра, соединяющего вершины [math]v_i[/math] и [math]v_j[/math]. |
Пример
| Взвешенность графа
|
Вид графа
|
Матрица смежности
|
| Не взвешенный граф
|
|
[math]\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 1\\
1 & 0 & 1 & 1 & 1\\
0 & 1 & 0 & 1 & 0\\
0 & 1 & 1 & 0 & 1\\
1 & 1 & 0 & 1 & 0\\
\end{pmatrix}[/math]
|
| Взвешенный граф
|
|
[math]\begin{pmatrix}
0 & 40 & 0 & 0 & 18\\
40 & 0 & 22 & 6 & 15\\
0 & 22 & 0 & 14 & 0 \\
0 & 6 & 14 & 0 & 20\\
18 & 15 & 0 & 20 & 0 \\
\end{pmatrix}[/math]
|
Свойства
- Для графов без петель и кратных рёбер матрица смежности бинарна (состоит из нулей и единиц).
- Для графов без петель и кратных рёбер главная диагональ матрицы смежности целиком состоит из нулей.
Случай ориентированного графа
Сумма элементов [math]i[/math]-й строки равна [math]deg^- v_i[/math], то есть [math]\sum\limits_{j=1}^{n}\alpha_{i,j} = deg^- v_i[/math].
Аналогично сумма элементов [math]j[/math]-го стоблца равна [math]deg^+ v_j[/math], то есть [math]\sum\limits_{i=1}^{n}\alpha_{i,j} = deg^+ v_j[/math].
Случай неориентированного графа
Для неориентированных графов матрица смежности является симметричной.
Сумма элементов [math]i[/math]-й строки равна [math]deg \; v_i[/math], то есть [math]\sum\limits_{j=1}^{n}\alpha_{i,j} = deg \; v_i[/math]. Вследствие симметричности суммы элементов [math]i[/math]-й строки и [math]i[/math]-го столбца равны.
Связь степени матрицы смежности и количества путей
| Теорема: |
Пусть [math]A_{[V\times{}V]}=\alpha_{i,j}[/math] — матрица смежности графа [math]G(V,E)[/math] без петель и [math]A^l=\gamma_{i,j}[/math], где [math]l\in\mathbb{N}[/math]. Тогда [math]\gamma_{i,j}[/math] равно количеству путей [math]v_i\leadsto{}v_j[/math] длины [math]l[/math]. |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Утверждение очевидно при [math]l = 1[/math]. Пусть [math]l \gt 1[/math], и утверждение верно для [math]l - 1[/math]. Тогда [math]A^{l-1}=\varepsilon_{i,j}[/math], где [math]\varepsilon_{i,j}[/math] равно количеству путей [math]v_i\leadsto{}v_j[/math] длины [math]l-1[/math]. Следовательно,
- [math]\gamma_{i,j}=\sum\limits_{s=1}^{n}{\varepsilon_{i,s}\alpha_{s,j}}[/math]
равно числу путей [math]v_i\leadsto{}v_j[/math] длины [math]l[/math], так как каждый такой маршрут состоит из путей [math]v_i\leadsto{}v_s[/math] длины [math]l-1[/math] и ребра, ведущего из предпоследней вершины [math]v_s[/math] пути в его последнюю вершину [math]v_j[/math]. |
| [math]\triangleleft[/math] |
См. также
Источники информации
- Харари Фрэнк Теория графов Пер. с англ. и предисл. В. П. Козырева. Под ред. Г.П.Гаврилова. Изд. 2-е. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 296 с. — ISBN 5-354-00301-6
- Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В. Дискретная математика: графы, матроиды, алгоритмы — НИЦ РХД, 2001. — 288 с. — ISBN 5-93972-076-5
