Материал из Викиконспекты
Определение разреза
| Определение: |
| [math](s,t)[/math]-разрезом (англ. s-t cut) [math]\langle S,T\rangle[/math] в сети [math]G[/math] называется пара множеств [math]S,T[/math], удоволетворяющих условиям:
1) [math]s\in S, t\in T[/math]
2) [math]S\cup T=V[/math]
3) [math]S\cap T=\varnothing[/math] |
Поток через разрез
| Определение: |
| Пропускная способность разреза [math]\langle S,T\rangle[/math] обозначается [math]c(S,T)[/math] и вычисляется по формуле: [math]c(S,T)=\sum\limits_{u\in S}\sum\limits_{v\in T}c(u,v)[/math]. |
| Определение: |
| Поток в разрезе [math]\langle S,T\rangle[/math] обозначается [math]f(S,T)[/math] и вычисляется по формуле: [math]f(S,T)=\sum\limits_{u\in S}\sum\limits_{v\in T}f(u,v)[/math]. |
| Определение: |
| Минимальным разрезом называется разрез с минимально возможной пропускной способностью |
| Лемма: |
Пусть [math]\langle S,T\rangle[/math] - разрез в [math]G[/math]. Тогда [math]f(S,T)=|f|[/math]. |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
[math]f(S,T)=f(S,V)-f(S,S)=f(S,V)=f(S\setminus s,V)+f(s,V)=f(s,V)=|f|[/math]
- 1-е равенство выполняется, так как суммы не пересекаются ([math]f(S,V)=f(S,S)+f(S,T)[/math])
- 2-е равенство выполняется из-за антисимметричности ([math]f(S,S)=-f(S,S)=0[/math])
- 3-е равенство выполняется, как и 1-е, из-за непересекающихся сумм
- 4-е равенство выполняется из-за сохранения потока
|
| [math]\triangleleft[/math] |
| Лемма (закон слабой двойственности потока и разреза): |
Пусть [math]\langle S,T\rangle[/math] — разрез в [math]G[/math]. Тогда [math]f(S,T)\le c(S,T)[/math]. |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
[math]{c(S,T)-f(S,T)=\sum\limits_{u\in S}\sum\limits_{v\in T}c(u,v)-\sum\limits_{u\in S}\sum\limits_{v\in T}f(u,v)=
\sum\limits_{u\in S}\sum\limits_{v\in T}(c(u,v)-f(u,v))\ge 0}[/math], из-за ограничений пропускных способностей ([math]f(u,v)\le c(u,v)[/math]). |
| [math]\triangleleft[/math] |
| Лемма: |
Если [math]f(S,T)=c(S,T)[/math], то поток [math]f[/math] — максимален, а разрез [math]\langle S,T\rangle[/math] — минимален. |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Из закона слабой двойственности следует, что [math]f(S_1,T_1)\le c(S_2,T_2)[/math] для любых двух разрезов [math]\langle S_1,T_1\rangle[/math] и [math]\langle S_2,T_2\rangle[/math] в сети [math]G[/math] (так как [math]f(S_1,T_1)=|f|=f(S_2,T_2)\le c(S_2,T_2)[/math]).
Значит, если расположить все величины потоков и разрезов на оси OX, то у потоков с разрезами может быть максимум 1 точка пересечения.
Очевидно, что эта точка определяет максимальный поток среди всех потоков и минимальный разрез среди всех разрезов сети [math]G[/math]. |
| [math]\triangleleft[/math] |
Литература
- Кормен, Томас Х., Лейзерсон, Чарльз И., Ривест, Рональд Л., Штайн Клиффорд Алгоритмы: построение и анализ, 2-е издание. Пер. с англ. — М.:Издательский дом "Вильямс", 2010. — 1296 с.: ил. — Парал. тит. англ. — ISBN 978-5-8459-0857-5 (рус.)
Ссылки
