Лекция от 20 сентября 2010.
Определения
| Определение: |
| Если [math] A \subset \mathbb R, \, \exists b \in \mathbb R : A \le b [/math], то A называется ограниченным сверху множеством.
[math] b [/math] называется верхней границей множества А.
Если [math] A \subset \mathbb R, \, \exists c \in \mathbb R : A \ge c [/math], то A называется ограниченным снизу множеством.
[math] c [/math] называется нижней границей множества А.
Если [math] A \subset \mathbb R, \, \exists b, c \in \mathbb R : c \le A \le b [/math], то A называется ограниченным множеством. |
| Определение: |
| Если [math] A [/math] - ограничено сверху, то наимешьшая из его верхних границ называется верхней гранью.
[math] b = \sup A[/math] ("супремум") |
| Определение: |
| Если [math] A [/math] - ограничено снизу, то наибольшая из его нижних границ называется нижней гранью.
[math] b = \inf A[/math] ("инфиум") |
Существование грани множества
| Теорема: |
Если А ограничено сверху, то у него существует верхняя грань (Аналогично для А, ограниченного снизу). |
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Пусть M - множество верхних границ А. Так как А ограничено сверху, то [math] M \ne \varnothing [/math].
По определению верхней границы: [math] A \le M [/math].
По аксиоме непрерывности:
[math] \exists d \in \mathbb R: \, A \le d \le M [/math]:
- [math] A \le d \Rightarrow d \in M [/math].
- [math] d \le M \Rightarrow d [/math] - наименьшая из верхних границ А.
Получили, что d - верхняя граница А, и d не больше всех верхних границ А [math]\Rightarrow d = sup \, A [/math].
Аналогично для нижней грани ограниченного снизу множества А. |
| [math]\triangleleft[/math] |
Принцип вложенных отрезков
| Определение: |
| Множество [math] (a, b) = \{ x: a \lt x \lt b \} [/math] называется интервалом или открытым промежутком.
Множество [math] [a, b] = \{ x: a \le x \le b \} [/math] называется отрезком или замкнутым промежутком.
Обозначение [math] \lt a, b\gt = \{ x: a\, ?\, x\, ?\, b \} [/math] (промежуток) используется, когда неизвестно включение границ.
По аналогии определяются и промежутки типа [math] (a, b] [/math]. |
| Определение: |
| Пусть дана система отрезков: [math] a_n \le b_n, \Delta_n = [a_n, b_n] [/math]
[math] \forall n \in \mathbb N: \Delta_{n+1} \subset \Delta_n [/math]
Тогда эта система отрезков называется вложенной. |
| Утверждение: |
[math] \bigcap \limits_{n=1}^{\infty} \Delta_n \ne \varnothing [/math] |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Определим следующие числовые множества:
[math] A = \{ a_n | n \in \mathbb N \} [/math]
[math] B = \{ b_n | n \in \mathbb N \} [/math]
Пусть [math] c = sup \, A, d = inf \, B [/math].
[math] c [/math] и [math] d [/math] существуют.
В силу вложенности отрезков:
[math] A \le c \le d \le B \Rightarrow \forall n: [c, d] \subset \Delta_n [/math] |
| [math]\triangleleft[/math] |
Исходя из определения граней, если:
[math] d = sup \, A \in \mathbb R : [/math]
[math] \forall \varepsilon \gt 0, \exists a \in A: d - \varepsilon \lt a [/math]
[math] c = sup \, A \in \mathbb R : [/math]
[math] \forall \varepsilon \gt 0, \exists a \in A: c + \varepsilon \gt a [/math]
