Метод генерации случайной перестановки, алгоритм Фишера-Йетса

Тасование Фишера–Йетса (названо в честь Рональда Фишера (Ronald Fisher) и Франка Йетса (Frank Yates)) – алгоритм создания случайных перестановок конечного множества, попросту говоря, для случайного тасования множества. Основная процедура тасования Фишера–Йетса аналогична случайному вытаскиванию записок с числами из шляпы или карт из колоды, один элемент за другим, пока элементы не кончатся. Алгоритм обеспечивает эффективный и строгий метод таких операций, гарантирующий несмещённый результат.

Постановка задачи

Необходимо сгенерировать случайную перестановку из [math] n [/math] чисел с равномерным распределением вероятности, если есть в наличии функция для генерации случайного числа в заданном интервале.

Решение

Пусть

• [math]\mathtt{random(1..i) }[/math] генерирует случайное число в интервале [math] [1;\; i] [/math]
  

Следующий алгоритм решает задачу:

 int *a randomPermutation(int *a) // *a - указатель на массив типа int длины n
   for i = n  to 1
     j = random(1..i)
     swap(a[i], a[j])
 return a

Обоснование

Корректность данного алгоритма очевидна. На каждой итерации цикла мы выбираем случайный элемент из всех оставшихся, то есть у нас есть [math] n[/math] способов выбрать 1 элемент, [math] n - 1[/math] способов выбрать 2 элемент ... [math] 1[/math] способ выбрать последний элемент. Таким образом, последовательность длины [math] n[/math] мы можем получить [math] $$n \times (n - 1) \times \ldots \times 1 = n! $$ [/math] способами, что совпадает с числом различных перестановок длины [math] n[/math]. Это означает, что вероятность выбрать любую перестановку длины [math] n[/math] равна [math] \frac{1}{n!}[/math], то есть все перестановки равновероятны.

Неправильные способы реализации

Небольшая модификация этого алгоритма, может резко сказаться на его корректности. Например, следующие два алгоритма работают неправильно:

 for i = n to 1
   swap(i, random(1..n))

 for i = n to 1
   swap(random(1..n), random(1..n))

В самом деле: число способов сгенерировать последовательность в первом случае равно [math]n^n[/math], в то время как существует всего [math] n![/math] возможных перестановок из [math] n[/math] элементов. Поскольку [math] n^n[/math] никогда не может делиться на [math] n![/math] без остатка при [math] n \gt 2[/math] (так как [math] n![/math] делится на число [math] n - 1[/math] , которое не имеет с [math] n[/math] общих простых делителей), то некоторые перестановки должны появляться чаще, чем другие. Аналогично для второго случая, где число способов сгенерировать последовательность равно уже [math] (n^2)^n[/math].

Примечание

• Впервые этот алгоритм опубликовали Р.А.Фишер и Ф.Йетс (R.A.Fisher and F. Yates, Statistical Tables (London 1938), Example 12).
  
• Нетрудно увидеть, что сложность алгоритма [math] O(n)[/math]

См.также

• Интерактивный пример
• Методы генерации случайного сочетания

Источники информации

• Д.Э. Кнут Искусство программирования, том 2. Получисленные методы — 3-е изд. — М.: «Вильямс», 2007. — С. 832. — ISBN 0-201-89684-2
• Википедия - Тасование Фишера–Йетса
• Wikipedia - Fisher-Yates shuffle