Базовые преобразования
Параллельный перенос
Задаёт преобразование [math] x \rightarrow x + a ,\ y \rightarrow y + b [/math].
Обозначается [math] T_{\overrightarrow v} [/math], где [math] \overrightarrow v = (a, b) [/math] — вектор параллельного переноса.
[math] T_{(a, b)} = \left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & a\\
0 & 1 & b\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right) [/math]
Пример
Задача: Найдите новые координаты точки [math] (6, 9) [/math] после параллельного переноса плоскости на вектор [math] \overrightarrow v = (1, 2) [/math].
Решение: [math] T_{(a, b)} (\left(\begin{array}{c}
6\\
9\\
1
\end{array}\right)) =
[/math]
[math]
\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1\\
0 & 1 & 2\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right) \cdot
[/math]
[math]
\left(\begin{array}{c}
6\\
9\\
1
\end{array}\right) =
[/math]
[math]
\left(\begin{array}{c}
6 + 1\\
9 + 2\\
1
\end{array}\right) =
[/math]
[math]
\left(\begin{array}{c}
7\\
11\\
1
\end{array}\right)
[/math]
Вполне ожидаемый ответ.
Поворот относительно начала координат
Обозначается [math] R^\alpha [/math], где [math] \alpha [/math] — угол поворота.
Как обычно, [math] \alpha \gt 0 [/math] при повороте против часовой стрелки, и [math] \alpha \lt 0 [/math] при повороте по часовой стрелке.
[math] R^\alpha = \left(\begin{array}{ccc}
\cos \alpha & - \sin \alpha & 0\\
\sin \alpha & \cos \alpha & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right) [/math]
Пример
Задача: Найдите новые координаты точки [math] (5, 1) [/math] после поворота плоскости на [math] 90 [/math] °.
Решение: [math] R^{90} = \left(\begin{array}{ccc}
0 & -1 & 0\\
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)
[/math]
[math] R^{90} (\left(\begin{array}{cc}
5\\
1\\
1
\end{array}\right)) =
[/math]
[math]\left(\begin{array}{ccc}
0 & -1 & 0\\
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right) \cdot
[/math]
[math] \left(\begin{array}{cc}
5\\
1\\
1
\end{array}\right) =
[/math]
[math] \left(\begin{array}{cc}
-1\\
5\\
1
\end{array}\right)
[/math]
