Предел отображения в метрическом пространстве

Эта статья находится в разработке!

1. [math](X, \rho)[/math] — МП. [math]\forall Y \subset X : (Y, \rho)[/math] — МП.
2. [math]x \in A[/math]. A — окрестность точки x, если [math]\exists V: x \in V \subset A [/math]

O(x) - окрестность точки x. [math] V_r(x) = O(x)[/math](в частности).

Числовая прямая - окрестность любого числа.

[math]A, b \in X[/math]. b является предельной точкой для A, если в любой O(b) находится бесконечное число точек, принадлежащих A.

Пример:

[math] \mathbb R, A = (0; 1); 0 \notin A[/math], 0 — предельная точка(как и 1, например).

Пусть [math] A \subset X, a [/math] — предельная точка [math]A, (X, \rho), (Y, \bar \rho)[/math].

[math] f: A \rightarrow Y, b = \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x), b \in Y[/math] , т.е. [math]\forall \varepsilon \gt 0 \, \exists \delta \gt 0: 0 \lt \rho(x, a) \lt \delta \Rightarrow \bar \rho(f(x), b) \lt \varepsilon [/math]

Так как a — предельная точка A, то у нас есть гарантии, что [math]0 \lt \rho(x, a) \lt \delta[/math] выполнимо для бесконечного числа [math] x \in A[/math]. Отметим: если [math]a \in A[/math], то f(a) нас не интересует.

<wikitex> Например: $\mathbb R : f:(a - 1; a + 1) \rightarrow \mathbb R, a$ — предельная точка.

$\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 : 0 < |x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - b| < \epsilon $

TODO: что-то обрезано вначале $a \in A, \lim\limits_{x \rightarrow a}f(x) = f(a)$, тогда $f$ непрерывна в точке $a$.

Если $f$ имеет предел, то в ситуации общих МП: 1) Предел сложного отображения. $ A \subset X, B \subset Y, Z. \; X, Y, Z $ — МП, у каждого своя метрика. a — предельная точка A, $ b = \lim\limits_{x \rightarrow a} f(x)$, тогда b предельная у WTF?? при этом:

$g: B \rightarrow Z. \qquad d = \lim\limits_{y \rightarrow b} g(y) $

$Z = g(f(x))$

$f: A \Rightarrow B, f(x) \ne b, x \in A$

$g \circ f(x) = g(f(x)). \qquad d = \lim\limits_{y \rightarrow b} g(y): $

$\forall \varepsilon > 0 \, \exists \delta_1 > 0 : 0 < \bar \rho (y, b) < \delta_1 \Rightarrow \bar{\bar \rho}(g / y, d) < \varepsilon \\

\forall \delta_1 > 0 \, \exists \delta > 0 : 0 < \rho (x, a) < \delta \Rightarrow \bar \rho (f(x), b) < \delta_1 $

$f(x) \ne b \Rightarrow 0 < \bar \rho (f(x), b) < \delta_1 $, а тогда $y = f(x) $

$\forall \varepsilon > 0 \, \exists \delta > 0: 0 < \rho (x, a) < \delta \Rightarrow \bar{\bar \rho} (g(y), d) < \varepsilon \Rightarrow \lim\limits_{x \rightarrow a} g(f(x)) = d $( у сложной функции предел совпадает с пределом внешней фукнции) $\Rightarrow$ сложная фукнция от двух непрерывных - непрерывна.

</wikitex>