Цепные коды

Цепной код для двоичного вектора длиной 4

Цепной код — это код, каждый следующий столбец которого получается из предыдущего циклическим сдвигом вверх.

Алгоритм получения цепного кода для двоичного вектора

1. Берем в качестве первого слова слово из n нулей.
2. Делаем циклический сдвиг предыдущего слова влево с потерей первого разряда.
3. Приписываем к полученному слову в конец единицу. Проверяем, встречалось ли это слово в коде ранее.
4. Если нет, то записываем его в код, иначе последнюю единицу заменяем на ноль и записываем слово в код.
5. Если получено слово из n нулей, то код полностью записан, иначе возвращаемся к шагу 2

Доказательство корректности

Разобьем доказательство на две части:

1. Доказательство того, что одно и то же слово встречается в коде не более одного раза.
2. Доказательство того, что код перебирает все возможные слова прежде, чем получит слово из n нулей.

1. Покажем, что в этом алгоритме никогда не будет ситуации, когда нам надо образовать новое слово, а оба возможных вариантов (добавление нуля или единицы) уже были использованы. Рассмотрим первое такое противоречие, то есть уже было два слова, которые начинались таким же набором единиц и нулей и отличались только в последнем разряде. Но они были получены из двух слов, которые отличаются только в первом разряде, значит, мы должны были столкнуться с данной ситуацией на шаг раньше, но мы предполагали, что это первый подобный случай и пришли к противоречию. Следовательно, мы не можем столкнуться с данной ситуацией.
2. Заметим, что невозможно вернуться к слову из всех нулей, пока не переберем все [math]2^n[/math] слов, где n — длина слова. Допустим, мы всё же получили слово из всех нулей раньше, чем перебрали все слова. Тогда разобьём слова, которые не попали в код на две группы: кончающиеся на 1 и кончающиеся на 0. Докажем, что 2-й группы нет. Рассмотрим слово {abc..yz}0, не попавшее в код, где {abc..yz} — некоторая последовательность 1 и 0. Рассмотрим два слова, которые могут быть от него образованы: {bc..yz}01 и {bc..yz}00. Они могли быть получены из слов {abc..yz}0 и {(not a)bc..yz}0. Но даже если второе слово встречается в коде, то в коде не может быть более одного из рассматриваемых слов, значит аторого не может быть вообще (так как алгоритм по возможности добавляет 1, а не 0). То есть слово {bc..yz}00 тоже нет в коде. Так эту цепочку можно продолжить до слова 00..000 и прийти к противоречию. А раз 2-й группы нет, то не может быть и 1-й, так как если в коде есть слово, кончающееся на 0, то мы не можем получить его, если не было слова с таким же началом, но с единицей в конце.