Opij1sumwu

[math] O \mid p_{i,j} = 1 \mid \sum w_{i} U_{i} [/math]

Задача:

Дано [math]m[/math] одинаковых станков, которые работают параллельно, и [math]n[/math] работ, которые необходимо выполнить в произвольном порядке на всех станках. Любая работа на любом станке выполняется за единицу времени. Для каждой работы есть время окончания [math]d_i[/math] — время, до которого она должна быть выполнена. Требуется минимизировать [math]\sum w_{i} U_{i}[/math], то есть суммарный вес всех просроченных работ.

Алгоритм

Идея алгоритма состоит в том, что на шаге [math]k[/math] строим оптимальное решение для первых [math]k[/math] работ с наименьшими дедлайнами.

Пусть работы отсортированы в порядке возрастания дедлайнов. Пусть мы уже рассмотрели первые [math]k[/math] работ, тогда множество [math]S_k[/math] содержит только те работы, которые мы успеваем выполнить в порядке не убывания дедлайнов при оптимальном расписании. Рассмотрим работу [math]k+1[/math]. Если мы ее успеваем выполнить данную работу, до наступления дедлайна, то добавим в множество [math]S_{k}[/math] и получим множество [math]S_{k+1}[/math]. Если же [math]k+1[/math] работу мы не успеваем выполнить до дедлайна, то найдем в [math]S_k[/math] работу [math]l[/math] c наименьшим весом [math]w_{l}[/math] и заменим ее на работу [math]k+1[/math].

Таким образом, рассмотрев все работы, мы получим [math]S_{n}[/math] — множество работ, которые мы успеваем выполнить до наступления их дедлайнов, причем вес просроченных работ будет наименьшим. От порядка выполнения просроченных работ ничего не зависит, поэтому расположить в расписании их можно произвольным образом.

Псевдокод

Предполагаем, что перед началом выполнения алгоритма выполняется, что [math]m \leqslant d_{1} \leqslant d_{2} \leqslant \ldots \leqslant d_{n}[/math]. Все работы, дедлайн которых меньше [math]m[/math], мы в любом случае выполнить без штрафа не успеем, поэтому их изначально можно отнести к просроченным.

[math]S[/math] — множество непросроченных работ, [math]Check[/math] — функция, решающая задачу [math] O \mid p_{i,j} = 1, d_i \mid - [/math].

S =  [math]\varnothing[/math]
for i = 1 to n
   S = [math] S \cup \{i\} [/math]
   if not Check(s) :
       найти такое [math]k[/math], что [math]w_{k} = \min \{ w_{j} \mid j \in S\}[/math]
       S = [math]S \setminus \{k\}[/math]

Доказательство корректности

Утверждение:

Алгоритм строит корректное расписание.

[math]\triangleright[/math]

Если мы успеваем выполнить очередную работу, то, очевидно, от ее добавления, расписание не может стать некорректным. В противном случае мы пытаемся заменить одну работу из множества [math] S [/math] на текущую. Но это так же не может сделать наше расписание некорректным. Это следует из того, что мы рассматриваем работы в порядке неуменьшениях их дедлайнов. Пусть мы заменяем работу [math] k [/math] на работу [math] i [/math]. Но [math] d_{k} \leqslant d_{i} [/math], следовательно, если мы успевали выполнить работу [math] k [/math], то успеем выполнить и работу [math] i [/math].

[math]\triangleleft[/math]

Теорема:

Построенное данным алгоритмом расписание оптимально.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math] S^* [/math] множество непросроченных работ в оптимальном расписании. Также пусть [math] l [/math] — первая работа из множества [math] S [/math], которая не входит в [math] S^* [/math], а [math] k [/math] — первая работа из [math] S^* [/math], не содержащаяся в [math] S [/math]. Мы можем предполагать существование этих работ, потому что [math] S^* [/math] не может содержать [math] S [/math] как подмножество, иначе это противоречило бы построению [math] S [/math]. С другой стороны, если [math] S^* \subseteq S [/math], то [math] S [/math] должно быть тоже оптимальным, и правильность алгоритма доказана. Для доказательства покажем, что мы можем заменить работу [math] k [/math] на работу [math] l [/math] в оптимальном расписании, не увеличивая минимизируемую функцию. Рассмотрим два случая: [math] l \lt k [/math] Так как работа [math] k [/math] не содержится в [math] S [/math], то либо она не была добавлена при ее рассмотрении, либо была заменена работой, рассмотренной позднее. В любом случае это означает, что [math] w_{k} \leqslant w_{l} [/math]. Так же по определению [math] k [/math] все работы [math] i \in S^* : i \lt k [/math] должны содержаться и в [math] S [/math]. Но тогда заменив в оптимальном расписании [math] k [/math] на [math] l [/math], мы сохраним корректность расписания и не увеличим минимизируемую функцию. [math] k \lt l [/math] Так как мы рассматриваем работы в порядке неубывания их дедлайнов, то, следовательно, [math] d_{k} \leqslant d_{l} [/math], и замена работы [math] k [/math] на [math] l [/math] в оптимальном расписании [math] S^* [/math] не может сделать его некорректным. Тогда для доказательства нам осталось показать, что [math] w_{k} \leqslant w_{l} [/math]. Пусть [math] k_{i_{0}} = k [/math] — работа, замененная работой [math] i_{0} [/math] в процессе построения [math] S [/math], и пусть [math] k_{i_{1}}, \ldots, k_{i_{r}} [/math] — последовательность работ, которые были исключены из [math] S [/math] после замены [math] k [/math], причем работа [math] k_{i_{v}} [/math] была заменена работой [math] i_{v} [/math]. [math] i_{0} \lt i_{1} \lt \ldots \lt i_{r} [/math]. Будем говорить, что "работа [math] i_{v} [/math] подавляет [math] i_{m} [/math]", где [math] m \lt v [/math], если [math] k_{i_{v}} \leqslant i_{m} [/math]. В таком случае получаем, что [math] w_{k_{i_{v}}} \geqslant w_{k_{i_{m}}}[/math], потому что в противном случае работа [math] k_{i_{v}} [/math] была бы исключена из [math] S [/math] раньше чем [math] k_{i_{m}} [/math]. Если в последовательности [math] i_{0} \lt i_{1} \lt \ldots \lt i_{r} [/math] существует подпоследовательность [math] j_{0} = i_{0} \lt j_{1} \lt \ldots \lt j_{s} [/math] такая, что [math] j_{v + 1} [/math] подавляет [math] j_{v} [/math] для всех [math] v = 0,1, \ldots, s - 1 [/math] и [math] j_{s - 1} \lt l \leqslant j_{s} [/math], то получаем, что [math] w_{l} \geqslant w_{k_{j_{s}}} \geqslant \ldots \geqslant w_{k_{j_{0}}} = w_{k} [/math], что доказывает оптимальность расписания [math] S [/math]. Покажем, что отсутствие такой подпоследовательности приведет нас к противоречию, из чего будет следовать ее существование. Предположим, что такой подпоследовательности не существует. Тогда найдем наименьшее [math] t [/math] такое, что не существует работы [math] i_{v} : v \gt t [/math], которая бы подавляла работу [math] i_{t} [/math], и [math] i_{t} [/math] было бы меньше [math] l [/math]. По определению [math] l [/math] и [math] i_{t} [/math] и из факта, что [math] i_{t} \lt l [/math], получаем, что после добавления во множество [math] S [/math] работы [math] i_{t} [/math], ни одна из работ, рассмотренных ранее, не будет удалена из [math] S [/math], а так же все эти работы содержатся и в оптимальном расписании [math] S^* [/math], поскольку [math] i_t \lt l [/math]. Пусть [math] S_t [/math] это множество [math] S [/math] после замены работы [math] k_{i_t} [/math] на [math] i_t [/math]. Если [math] k_{i_t} \gt k [/math], то в оптимальном расписании [math] S^* [/math] мы можем заменить работу [math] k [/math] на [math] k_{i_t} [/math], поскольку [math] d_{k_{i_t}} \geqslant d_k [/math]. Но так как [math] S_t \subset S^* [/math], то все работы из множества [math] S_t \cup \{k_{i_t}\} [/math] могут быть выполнены до их дедлайнов, что противоречит построению [math] S [/math]. Следовательно, [math] k_{i_t} \lt k [/math]. Тогда аналогично предыдущему случаю получаем, что все работы из множества [math] S_t \cup \{k\} [/math] могут быть выполнены вовремя. Кроме того, все работы из [math] \{ j \in S_t \mid j \lt k \} \cup \{k_{i_t}\} [/math] так же могут быть выполнены вовремя, что следует из построения [math] S_t [/math]. Но тогда получается, что все работы и из множества [math] S_t \cup \{k_{i_t}\} [/math] так же могут быть выполнены вовремя, что опять приводит нас к противоречию с построением [math] S [/math].

[math]\triangleleft[/math]

Время работы

Время работы зависит от того, на сколько быстро мы будем добавлять, находить и удалять работы из множества [math]S[/math]. В качестве [math]S[/math] можно использовать двоичную кучу или красно-черное дерево и тогда все нужные нам операции будут выполняться за [math]O(\log n)[/math]. Тогда время алгоритма будет [math]O(n \cdot (\log n + T(Check)))[/math]. Так как [math]T(Check)=O(n \cdot m)[/math], то время алгоритма [math]O(n^2 \cdot m)[/math]

См. также

• [math] O \mid p_{i,j} = 1, d_i \mid - [/math]
• [math]O \mid p_{ij} = 1 \mid \sum U_i[/math]

Источники информации

• Peter Brucker. «Scheduling Algorithms» — «Springer», 2006 г. — 168. стр.