Матричное представление перестановок

Ма́трица перестано́вки (или подстано́вки) — квадратная бинарная матрица, в каждой строке и столбце которой находится лишь один единичный элемент. Каждая матрица перестановки размера [math]n \times n[/math] является матричным представлением перестановки порядка [math]n[/math].

Определение

Пусть дана перестановка [math]\sigma[/math] порядка [math]n[/math]:

[math]\begin{pmatrix} 1 && 2&& \ldots && n\\ \sigma(1)&& \sigma(2) && \ldots && \sigma(n) \end{pmatrix}[/math]

Соответствующей матрицей перестановки является матрица [math]n \times n[/math] вида:

[math]P_\sigma = \begin{pmatrix} \mathbf{e}_{\sigma(1)}\\ \mathbf{e}_{\sigma(2)}\\ \vdots \\ \mathbf{e}_{\sigma(n)} \end{pmatrix}, [/math]

где [math]\mathbf{e}_{i}[/math] — вектор длины [math]n[/math], [math]i[/math]-й элемент которого равен 1, а остальные равны нулю.

Пример

Перестановка:

[math]\pi = \begin{pmatrix} 1 && 2 && 3 && 4\\ 4 && 2 && 1 && 3 \end{pmatrix}[/math]

Соответствующая матрица:

[math]P = \begin{pmatrix} 0 && 0 && 0 && 1 \\ 0 && 1 && 0 && 0 \\ 1 && 0 && 0 && 0 \\ 0 && 0 && 1 && 0 \\ \end{pmatrix}[/math]

Свойства

• Для любых двух перестановок [math]\sigma, \pi[/math] их матрицы обладают свойством:

  [math]P_\sigma P_\pi = P_{\sigma \circ \pi}[/math]

• Матрицы перестановки ортогональны, так что для каждой такой матрицы существует обратная:

  [math]P_\sigma^{-1} = P_\sigma^T[/math]

• Умножение произвольной матрицы [math]M[/math] на перестановочную соответственно меняет местами её столбцы.
• Умножение перестановочной матрицы на произвольную [math]M[/math] меняет местами строки в [math]M[/math].