Лемма о дедукции, полнота исчисления высказываний

<< >>

Теорема о дедукции

Будем обозначать буквами [math]\Gamma, \Delta, \Sigma[/math] списки формул (возможно, пустые).

Определение:

Пусть [math]\Gamma[/math] - некоторый список высказываний, [math]\alpha[/math] - некоторое высказывание в исчислении [math]\langle L, A, R \rangle[/math]. Тогда будем говорить, что [math]\alpha[/math] выводится из [math]\Gamma[/math] (запись: [math]\Gamma \vdash \alpha[/math]), если существует доказательство [math]\alpha[/math] в исчислении [math]\langle L, A_1, R \rangle[/math], где [math]A_1[/math] - это [math]A[/math] с добавленными формулами из [math]\Gamma[/math]. Элементы [math]\Gamma[/math] называются допущениями, предположениями, или гипотезами.

Замечание: в этом определении появляются дополнительные предположения, поэтому речь идет именно о выводе, а не о доказательстве. Очевидно, что, если [math]\Gamma = \varnothing[/math], то [math]\Gamma \vdash \alpha[/math] соответствует [math]\vdash \alpha[/math].

Теорема:

Пусть справедливо [math]\Gamma \vdash \alpha \rightarrow \beta[/math]. Тогда справедливо [math]\Gamma \cup \{\alpha\} \vdash \beta[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Возьмем [math]\delta_1, ..., \delta_m[/math] --- вывод формулы [math]\alpha \rightarrow \beta[/math]. В ней [math]\delta_m = \alpha \rightarrow \beta[/math]. Добавим [math]\delta_{m+1} = \alpha[/math] --- это добавленная аксиома, и [math]\delta_{m+2} = \beta[/math], получим вывод [math]\beta[/math] как М.Р. [math]\delta_m[/math] и [math]\delta_{m+1}[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Лемма:

[math]\vdash \alpha \rightarrow \alpha[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]\alpha \rightarrow (\alpha \rightarrow \alpha)[/math] (Сх. акс. 1) [math](\alpha \rightarrow (\alpha \rightarrow \alpha)) \rightarrow (\alpha \rightarrow ((\alpha \rightarrow \alpha) \rightarrow \alpha)) \rightarrow (\alpha \rightarrow \alpha)[/math] (Сх. акс. 2) [math](\alpha \rightarrow ((\alpha \rightarrow \alpha) \rightarrow \alpha)) \rightarrow (\alpha \rightarrow \alpha)[/math] (М.Р. 1, 2) [math](\alpha \rightarrow ((\alpha \rightarrow \alpha) \rightarrow \alpha))[/math] (Сх. акс. 1) [math]\alpha \rightarrow \alpha[/math] (М.Р. 4, 3)

[math]\triangleleft[/math]

Теорема (о дедукции):

Пусть справедливо [math]\Gamma \cup \{\alpha\} \vdash \beta[/math]. Тогда справедливо [math]\Gamma \vdash \alpha \rightarrow \beta[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Имеется вывод [math]\delta_1, ..., \delta_{m-1}, \beta[/math]. Набросаем план вывода, формулы в нем занумеруем через 10 (Ну да, логика же): [math](10)[/math] [math]\Gamma \vdash \alpha \rightarrow \delta_1[/math] ... [math](10m - 10)[/math] [math]\Gamma \vdash \alpha \rightarrow \delta_{m-1}[/math] [math](10m)[/math] [math]\Gamma \vdash \alpha \rightarrow \beta[/math] Дополним план до полноценного вывода. Рассмотрим формулу номер [math]i[/math]. Возможны следующие варианты: [math]\delta_i[/math] --- аксиома или предположение, входящее в [math]\Gamma[/math]. Тогда вставим перед этой формулой [math]\delta_i[/math] и [math]\delta_i \rightarrow (\alpha \rightarrow \delta_i)[/math], формула верна по M.P. [math]\delta_i = \alpha[/math]. Тогда вставляем перед формулой 4 формулы из леммы. [math]\delta_i[/math] выводится по M.P. из [math]\delta_j[/math] и [math]\delta_k[/math], где [math]j, k \lt i[/math]. Выведем [math]\alpha \rightarrow \delta_i[/math], добавив [math](\alpha \rightarrow \delta_j) \rightarrow ((\alpha \rightarrow (\delta_j \rightarrow \delta_i)) \rightarrow (\alpha \rightarrow \delta_i))[/math] (сх. акс. 2) и [math]((\alpha \rightarrow (\delta_j \rightarrow \delta_i)) \rightarrow (\alpha \rightarrow \delta_i)[/math] (M.P. из [math]j[/math] и предыдущей)

[math]\triangleleft[/math]

Определение:

Высказывание [math]\alpha[/math] следует из высказываний [math]\Gamma[/math], если при любой оценке пропозициональных переменных, входящих в высказывания, на которых все высказывания из [math]\Gamma[/math] истинны, [math]\alpha[/math] также истинно. Запись: [math]\Gamma \models \alpha[/math].

Теорема о полноте исчисления высказываний

Лемма:

Если [math]\Gamma \vdash \alpha[/math], то [math]\Gamma, \gamma \vdash \alpha[/math]. Если [math]\Gamma_1, \Gamma_2 \vdash \alpha[/math], то [math]\Gamma_2, \Gamma_1 \vdash \alpha[/math]. Аналогично для следствия.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

КТО МОЖЕТ НАПИСАТЬ ЭТО ФОРМАЛЬНО?

[math]\triangleleft[/math]