Условная вероятность

Условная вероятность — вероятность одного события при условии, что другое событие уже произошло.

Определение

Пусть [math](\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})[/math] — фиксированное вероятностное пространство. Пусть [math]A,B\in \mathcal{F}[/math] суть два случайных события, причём [math]\mathbb{P}(B)\gt 0[/math]. Тогда условной вероятностью события [math]A[/math] при условии события [math]B[/math] называется

[math]\mathbb{P}(A \mid B) = \frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)}[/math].

Замечания

• Прямо из определения очевидно следует, что вероятность произведения двух событий равна:

[math]\mathbb{P}(A\cap B) = \mathbb{P}(A \mid B) \mathbb{P}(B)[/math].

• Если [math]\mathbb{P}(B) = 0[/math], то изложенное определение условной вероятности неприменимо.
• Условная вероятность является вероятностью, то есть функция [math]\mathbb{Q}:\mathcal{F}\to \mathbb{R}[/math], заданная формулой

[math]\mathbb{Q}(A) = \mathbb{P}(A \mid B ),\; \forall A \in \mathcal{F}[/math],

удовлетворяет всем аксиомам вероятностной меры.

Пример

Если [math]A,B[/math] — несовместимые события, то есть [math]A \cap B = \varnothing[/math] и [math]\mathbb{P}(A)\gt 0,\; \mathbb{P}(B)\gt 0[/math], то

[math]\mathbb{P}(A \mid B) = 0[/math]

и

[math]\mathbb{P}(B \mid A) = 0[/math].