Пересечение полуплоскостей, связь с выпуклыми оболочками

Пересечение существует и выпукло, неограниченно или пусто

Предикат трех прямых

Задача: есть конечное множество полуплоскостей, найти фигуру их пересечения или сообщить что оно пусто.

Для начала заметим, что если пересечение не пусто, то оно выпукло. (Доказательство — Пересечение выпуклых фигур выпукло, а полуплоскость выпукла)

Пусть полуплоскости заданы уравнениями прямых и ориентацией, с какой стороны от прямой лежит полуплоскость.

Сначала рассмотрим все полуплоскости, которые "смотрят", то есть ориентированны, вниз. Аналогично можно рассмотреть все полуплоскости, которые ориентированны вверх.

Лемма:

Нужна ли полуплоскость [math] l'' [/math]? Предикат проверки (см. рисунок) того, что прямая [math] l'' : A''x + B''y + C'' = 0 [/math] лежит над пересечением прямых [math] l : Ax + By + C = 0 [/math] и [math] l' : A'x + B'y + C' = 0 [/math] равен знаку определителя [math] \begin{vmatrix} A & B & C \\ A' & B' & C' \\ A'' & B'' & C'' \end{vmatrix} [/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Для проверки предиката нужно определить знак выражения [math] A''x_0 + B''y_0 + C'' [/math], где [math] (x_0, y_0) [/math] — точка пересечения прямых [math] l' [/math] и [math] l [/math]. Эта точка находится из уравнения [math] \begin{pmatrix} A & B\\ A' & B' \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -C\\ -C' \end{pmatrix} [/math]. Решением будет [math] \begin{pmatrix} x_0\\ y_0 \end{pmatrix} = \frac{ \begin{pmatrix} B' & -B\\ -A' & A \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -C\\ -C' \end{pmatrix}} { \begin{vmatrix} A & B\\ A' & B' \end{vmatrix} } [/math]. Подставим это решение в [math] A''x_0 + B''y_0 + C'' [/math] и домножим на определитель. [math] A'' \left\lt (B'; -B)(-C; -C')\right\gt + B'' \left\lt (-A'; A)(-C; -C')\right\gt + C'' \begin{vmatrix} A & B \\ A' & B' \end{vmatrix} = [/math] [math] = A'' \begin{vmatrix} B' & B \\ -C' & -C \end{vmatrix} - B'' \begin{vmatrix} A' & A \\ -C' & -C \end{vmatrix} + C'' \begin{vmatrix} A & A' \\ B & B' \end{vmatrix} = [/math] [math] = A'' \begin{vmatrix} B' & B \\ -C' & -C \end{vmatrix} - B'' \begin{vmatrix} A' & A \\ -C' & -C \end{vmatrix} - C'' \begin{vmatrix} A' & A \\ B' & B \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} A'' & A' & A \\ B'' & B' & B \\ -C'' & -C' & -C \end{vmatrix} = [/math] [math] = \begin{vmatrix} A & B & C \\ A' & B' & C' \\ A'' & B'' & C'' \end{vmatrix} [/math]

[math]\triangleleft[/math]

Таким образом, если представить прямую [math] Ax + By + C = 0 [/math] как точку с однородными координатами [math] (A, B, C) [/math], то этот предикат — всего лишь поворот, а проверка предиката — проверка очередной точки в обходе Грэхема для нахождения выпуклой оболочки.

Алгоритм:

• Отсортировать все полуплоскости по углу наклона;
• Запустить обход Грэхема для полуплоскостей, смотрящих вниз (с предикатом-определителем);
• Запустить обход Грэхема для полуплоскостей, смотрящих вверх;
• Пересечь две цепочки.

От пересечения цепочек напрямую зависит фигура пересечения: неограниченная область получается если одна из цепочек пуста, а ограниченная — когда обе цепочки не пусты и пересекаются.

Связь пересечения полуплоскостей с выпуклой оболочкой

Лемма:

Пересечение полуплоскостей может быть получено построением выпуклой оболочки в двойственном прострастве для множества точек, являющихся дуальным преобразованием исходных полуплоскостей

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Множество точек в двойственном пространстве Множество прямых в исходном пространстве Важно: Покажем конструктивный алгоритм для множестве полуплоскостей, не содержащих вертикальный полуплоскости. После леммы приведены два рассуждения, позволяющие снять данное ограничение. Важно2: В картинке перепутаны [math]P[/math] и [math]P^\star[/math]. TODO Рассмотрим планарный случай и предположим, что вертикальные и параллельные прямые отсутствуют (в конце приведем два способа решения данной проблемы). Пусть у нас есть множество ориентированных прямых, каждая из которых задает полуплоскость(направление вектора нормали задаёт нужную полуплоскость). Тогда каждую плоскость мы можем превратить в точку в двойственном пространстве: [math] P(p_x, p_y) \Rightarrow P^\star (p_x x - p_y)[/math]. Далее воспользуемся основными свойствами дуальной трансформации (см. доказательтсво в конспекте о двойственном прострастве): [math]p[/math] [math]\in[/math] [math]l[/math] [math]\Leftrightarrow[/math] [math]l^\star[/math] [math]\in[/math] [math]p^\star[/math], где [math]p[/math] - точка в исходном пространстве, [math]l[/math] - прямая в исходном пространстве, [math]l^\star[/math], [math]p^\star[/math] - их дуальное отображение. [math]p[/math] лежит "над" [math]l[/math] [math]\Leftrightarrow[/math] [math]l^\star[/math] лежит "над" [math]p^\star[/math] Рассмотрим множество точек([math]P^\star[/math]) в двойственном пространстве и рассмотрим верхнюю часть выпуклой оболочки, построенной на этих точках. Обозначим её за [math]\mathcal{UH}[/math](Upper hull). Далее мы будем работать только с прямыми(в исходном пространстве), у которых вектор нормали направлен вниз, т.е они образовывают верхнюю цепочку. По свойству выпуклой оболочки, любое ребро из цепи [math]\mathcal{UH}[/math] содержит "ниже" себя все точки множества [math]P^\star[/math], а так же эта цепь соединяет самую правую точку с самой левой. Рассмотрим какую-то точку [math]p^\star \in P^\star[/math] и заметим, что она будет принадлежать цепи [math]\mathcal{UH}[/math] [math]\Leftrightarrow[/math] [math]\exists[/math] прямая [math]l^\star [/math] : [math]p^\star \in l^\star[/math] и все точки из [math]P^\star[/math] лежат ниже [math]l^\star[/math] (сейчаc мы жили в двойственном пространстве). В обычном пространстве данный факт эквивалентен следующему: Дуальное отображение точки [math]l^\star[/math] в базовое пространство — прямая [math]l[/math], которая по первому свойству содержит точку [math]p[/math](в базовом пространстве прямая [math]p^\star[/math] перешла в точку [math]p[/math]). Так как прямая [math]l^\star[/math] лежит выше всех точек, то теперь каждая прямая из [math]P[/math] лежит выше точки [math]l[/math] (по свойству 2). Итого: у нас есть точка [math]l[/math] на прямой [math]p[/math], лежащая ниже всех остальных прямых из [math]P[/math]. Посмотрим на планарный граф множества(рис.2) прямых. Из факта выше, мы можем понять, что [math]p[/math] внесла ребро в самый нижний фейс(именно тот, который задаёт часть пересечения полуплоскостей). Обозначим цепочку данного фейса, как [math]\mathcal{LE}[/math]. Математически данную цепочку мы можем описать, как минимум из всех линейных функция (заданные прямыми) в [math]P[/math]. Так же [math]X[/math] компонента узлов этой цепочки монотонно возрастает. Вернемся к [math]\mathcal{UH}[/math] и заметим, что при обходе цепи, координата [math]X[/math] точек растет. Если же мы будет обходить цепочку из [math]P[/math], образующую пересечение полуплоскостей, мы заметим, что наклон прямых уменьшается. Учитывая этот факт, и то что наклон линии из [math]\mathcal{LE}[/math] совпадет с [math]X[/math] координатой точки (вспоминаем отображение и применяем производную), можно сделать вывод, что обход слева направо точек из цепи [math]\mathcal{UH}[/math], совпадает с обходом точек из [math]\mathcal{LE}[/math] справа налево. (Обе линии монотоны, одна возрастает, другая убывает. Количество точек в массиве одинаковое, при это каждая точка из [math]\mathcal{UH}[/math] внесла вклад в [math]\mathcal{LE}[/math]) Напоследок, cоседние точки [math]p^\star[/math] и [math]q^\star[/math] из [math]P^\star[/math] образуют какое-то или принадлежат какому-то ребру [math]\mathcal{UH}[/math] [math]\Leftrightarrow[/math] все точки из [math]P^\star[/math] лежат "ниже" линии, построенной на точках [math]p^\star[/math] и [math]q^\star[/math]. В исходном пространстве это означает: все прямые из пространства [math]P[/math] за исключением прямых [math]p[/math] и [math]q[/math] лежат над пересечением [math]p[/math] и [math]q[/math]. Это достаточное условие, что пересечение [math]p[/math] и [math]q[/math] [math]\in[/math] [math]\mathcal{LE}[/math]. Таким образом мы построили верхнее пересечение полуплоскостей. Аналогичным образом строится нижнее, затем мы пересекаем полученные две цепочки.

[math]\triangleleft[/math]

Что же делать с вертикальными линиями?

1. Очевидный факт: в конечной выпуклой оболочке будет не более двух вертикальных прямых (левая и правая). Мы можем найти их за [math]NlogN[/math] и пересечь за [math]O(N)[/math] с построенной без них выпуклой оболочкой.
2. Перейдем в однородной двойственное пространство.

Источники

• http://wwwisg.cs.uni-magdeburg.de/ag/lehre/SS2012/GAG/slides/V12.pdf