Теорема о рекурсии

Содержание

1 Теорема о рекурсии
2 Теорема о неподвижной точке
3 См. также
4 Источники

Теорема о рекурсии

Теорема (Клини, о рекурсии / Kleene's recursion theorem):

Пусть — вычислимая функция. Тогда найдётся такая вычислимая , что .

Доказательство:

Приведем конструктивное доказательство теоремы. Пусть есть вычислимая [math]V(x,y)[/math]. Будем поэтапно строить функцию [math]p(y)[/math].
Предположим, что у нас в распоряжении есть функция [math]\mathrm{getSrc()}[/math], которая вернет код [math]p(y)[/math]. Тогда саму [math]p(y)[/math] можно переписать так:

function p(y) {
   V(x, y) { 
      ...
   }

   main() {
      return V(getSrc(), y)
   }

   getSrc() { 
      ...
   }
}

Теперь нужно определить функцию [math]\mathrm{getSrc()}[/math]. Предположим, что внутри [math]p(y)[/math] мы можем определить функцию [math]\mathrm{getOtherSrc()}[/math], состоящую из одного оператора [math]return[/math], которая вернет весь предшествующий ей код. Тогда [math]p(y)[/math] перепишется так.

function p(y) {
   V(x, y) {
      ...
   }

   main() {
      return V(getSrc(), y)
   }

   string getSrc() {
      string src = getOtherSrc()
      return src + "string getOtherSrc() {" + "\n" + "return" + src + "\n" + "}";
   }
}

Теперь [math]\mathrm{getOtherSrc()}[/math] определяется очевидным образом, и мы получаем итоговую версию функции [math]p(y)[/math]

function p(y) {
   V(x, y) {
      ...
   }

   main() {
      return V(getSrc(), y)
   }

   string getSrc() {
      string src = getOtherSrc()
      return src + "string getOtherSrc() {" + "\n" + "return" + src + "\n" + "}";
   }

    string getOtherSrc() {
      return "function  p(y) {           
                           V(x,y) {...}

                           main() {
                              return V(getSrc(), y)
                           }
 
                           string getSrc() {
                              string src = getOtherSrc();
                              return src + "string getOtherSrc() {" + "\n" + "return" + src + "\n" + "}";
                           }"; 
   }

}

Если говорить неформально, теорема о рекурсии утверждает, что внутри программы можно использовать ее код. Это упрощает доказательство некоторых теорем.

Приведем так же альтернативую формулировку теоремы и альтернативное (неконструктивное) доказательство.

Теорема о неподвижной точке

Введем на множестве натуральных чисел следующее отношение: и докажем вспомогательную лемму.

Определение:

Функция называется [math]\equiv[/math] — продолжением функции , если для всех таких , что определено, .

Лемма:

Для всякой вычислимой функции существует вычислимая и всюду определенная функция , являющаяся ее — продолжением.

Доказательство:

Рассмотрим вычислимую функцию от двух аргументов [math] V(n, x) = U(f(n), x)[/math]. Так как [math]V[/math] — вычислимая, то существует вычислимая и всюду определенная функция [math]s(n)[/math] такая, что: [math]V(n, x) = U(s(n), x)[/math].

Покажем, что [math]s(n)[/math] будет являться [math]\equiv[/math] — продолжением функции [math]f(n)[/math]. Если [math]f(n)[/math] определено, то [math]s(n)[/math] вернет другой номер той же вычислимой функции. Если же [math]f(n)[/math] не определено, то [math]s(n)[/math] вернет номер нигде не определенной функции.

Таким образом, мы нашли — продолжение для произвольно взятой вычислимой функции .

Теорема (Роджерс, о неподвижной точке / Rogers' fixed-point theorem):

Пусть — универсальная функция для класса вычислимых функций одного аргумента, — всюду определённая вычислимая функция одного аргумента. Тогда найдется такое , что , то есть и - номера одной функции.

Доказательство:

Будем доказывать теорему от противного: предположим, что существует всюду определенная вычислимая функция [math]h[/math], такая, что [math]U_n \neq U_{h(n)}[/math] для любого [math]n[/math]. В терминах введенного нами отношения, это значит, что [math]h[/math] не имеет [math]\equiv[/math] — неподвижных точек.

Рассмотрим некоторую вычислимую функцию, от которой никакая вычислимая функция не может отличаться всюду. Такой будет, например [math]f(x) = U(x, x)[/math] (действительно, если предположить, что существует вычислимая функция [math]g(n)[/math], всюду отличная от [math]f(n) = U(n, n)[/math], то нарушается определение универсальной функции.)

Согласно доказанной нами лемме, существует вычислимая и всюду определенная функция , являющаяся — продолжением функции . Давайте зададим функцию следующим образом: , где - искомая всюду определенная, вычислимая функция, не имеющая — неподвижных точек. Тогда всюду отличается от (в силу того, что не имеет неподвижных точек.) Получили противоречие, из чего следует, что такой функции не существует.

См. также

Участник:Shersh/Теорема_о_рекурсии

Источники

Wikipedia — Kleene's recursion theorem
Верещагин Н. К., Шень А. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции — М.: МЦНМО, 1999 - С. 176
Kleene, Stephen On notation for ordinal numbers - The Journal of Symbolic Logic, 1938 - С. 150-155

Теорема о рекурсии

Содержание