Монотонный код Грея

Определение:

Монотонный код Грея (англ. Monotonic Gray Code) — способ построения кода Грея, при котором [math]\forall i \lt j[/math] [math]\nexists g_i, g_j[/math], что [math]g_i[/math] содержит на [math]2[/math] или больше единиц, чем [math]g_j[/math].

Монотонный код Грея преимущественно используется в теории связанных сетей, например для минимизации ожидания линейным массивом процессоров.

Алгоритм построения

Для начала определим такое понятие, как вес двоичного кода, им будет являтся количество [math]1[/math] в данном двоичном коде. Очевидно, что нельзя построить код Грея в котором бы вес всегда возрастал. Неплохим решением этой проблемы будет обход всех кодов со смежными с данным весами.

Мы можем формализовать модель монотонных кодов Грея рассматривая разбиение гиперкуба [math]Q_n = (V_n, E_n)[/math], вершины в котором являются двоичными кодами, на уровни с одинаковым весом вершин.

[math] V_n(i) = \{ v \mid v \text{ has weight } i \} [/math]

для [math]0 \leqslant i \leqslant n[/math]. Для всех уровней выполняется соотношение [math]|V_n(i)| = C_n^i[/math].

Пусть [math]Q_n(i)[/math] подграф [math]Q_n[/math], который является объединением двух смежных уровней, т. е. [math]V_n(i) \cup V_n(i+1)[/math], и пусть [math]E_n(i)[/math] множество граней [math]Q_n(i)[/math]. Тогда монотонным кодом Грея будет являтся Гамильтонов путь в [math]Q_n[/math], при котором любое множество вершин [math]\delta_1 , \delta_2[/math] такие, что [math]\forall i, j : i \leqslant j[/math], то [math]\delta_1 \in E_n(i)[/math] идет перед [math]\delta_2 \in E_n(j)[/math].

Ниже на катринке Гамильтонов путь в гиперкубе [math]Q_4[/math] для [math]n = 4[/math], построенный по алгоритму Саважа-Винклера (англ. Savage-Winkler).

Элегантная идея построения [math]n[/math]-ичного монотонного кода Грея состоит в том, чтобы рекурсивно строить подпути [math]P_{n,j}[/math] длинны [math]2C_n^j[/math] включающих вершины [math]E_n(j)[/math].

Определим [math]P_{1,0} = (0, 1)[/math] и [math]P_{n,j} = \emptyset[/math], когда [math]j \lt 0[/math] или [math]j \geqslant n[/math] и [math] P_{n+1,j} = 1P^{\pi_n}_{n,j-1}, 0P_{n,j} [/math]. То есть [math]P_{n+1, j}[/math] это объединение множеств [math]P^{\pi_n}_{n,j-1}[/math] с приписанной в начале [math]1[/math] и [math]P_{n,j}[/math] с приписанным в начале [math]0[/math].

Здесь [math]\pi_n[/math] это определенная перестановка элементов множества к которому она применена, а [math]P^{\pi}[/math] это путь [math]P[/math] к котрому была применена пересатновка [math]\pi[/math]. Существует два варианта построить монотонный код грея по путям [math]P_{n, j}[/math].

Назовем их [math]G_n^{(1)}[/math] и [math]G_n^{(2)}[/math]. Будем строить их таким образом: [math] G_n^{(1)} = P_{n,0} P_{n,1}^R P_{n,2} P_{n,3}^R \ldots \text{, } G_n^{(2)} = P_{n,0}^R P_{n,1} P_{n,2}^R P_{n,3} \ldots [/math]

Выбор перестановки [math]\pi_n[/math] обусловлен тем, чтобы получившиеся коды соответсвовали требованиям кода Грея и поэтому эта перестановка равна [math]\pi_n = E^{-1}(\pi_{n-1}^2)[/math].

Чтобы лучше разобратся в том, как сторится этот код и работает перестановка [math]\pi[/math] следует рассмотреть таблицу ниже.

Подпути алгоритма Саважа-Винклера

[math]P_{n,j}[/math]	[math]j = 0[/math]	[math]j = 1[/math]	[math]j = 2[/math]	[math]j = 3[/math]
[math]n = 1[/math]	[math]0, 1[/math]
[math]n = 2[/math]	[math]00, 01[/math]	[math]10, 11[/math]
[math]n = 3[/math]	[math]000, 001[/math]	[math]100, 110, 010, 011[/math]	[math]101, 111[/math]
[math]n = 4[/math]	[math]0000, 0001[/math]	[math]1000, 1100, 0100, 0110, 0010, 0011[/math]	[math]1010, 1011, 1001, 1101, 0101, 0111[/math]	[math]1110, 1111[/math]

Монотонный код Грея может быть эффективно сгенерирован по этому алгоритму за время [math]O(n)[/math]. Легче всего написать этот алгоритм используя генератор.

Псевдокод

Перед тем как писать псевдокод необходимо объяснить что такое yield и что понимать под выражениями типа (0,) или (1,).

yield — аналог return только для функций-генераторов. То есть генераторы это тоже итерируемые объекты, но прочитать их можно лишь один раз. Это связано с тем, что они не хранят значения в памяти, а генерируют их на лету.

С конструкциями типа (0,) или (1,) все проще. Используя ее совместно с yield мы можем в изменять наш генерируемый объект. Например, yield (0,) допишет к генерируемому объекту (в нашем случае кортежу (англ. tuple)) [math]0[/math] в начало.

Вспомогательная функция для генерации перестановки, циклически сдвигает битовый вектор направо [math]n[/math] раз. Принимает и возвращает кортеж. Кортеж аналог списка, но в кортеже нельзя менять элементы, можно только добавлять. [i:] — возвращает подсписок, начиная с индекса [math]i[/math] (аналогично [:i]), а отрицательный знак позволяет индексироваться с конца (полагая, что -1 — последний элемент списка). function rotateRight(x: int[n]): int[n] return x[-n:] + x[:-n] Рекурсивная генерация [math]n[/math]-ой перестановки. Возвращает перестановку в виде кортежа. Если [math]n[/math] становится меньше [math]2[/math] дописывает в начало кортежа [math]0[/math] и возвращает его. function pi(int n): int[n] if n <= 1 return (0,) x = pi(n - 1) + (n - 1,) return rotateRight(tuple(x[k] for k in x), 1) Рекурсивная генерация пути [math]P_{n, j}[/math]. Принимает [math]n, j[/math], а так же дополнительный параметр определяющий надо-ли переворачивать кортеж. function p(int n, int j, bool reverse = false): list<int[n]> if n == 1 and j == 0 if not reverse yield (0,) yield (1,) else yield (1,) yield (0,) else if j >= 0 and j < n perm = pi(n - 1) if not reverse for x in p(n - 1, j - 1) yield (1,) + tuple(x[k] for k in perm) for x in p(n - 1, j) yield (0,) + x else for x in p(n - 1, j, reverse=True) yield (0,) + x for x in p(n - 1, j - 1, reverse=True) yield (1,) + tuple(x[k] for k in perm) Генерация монотонного кода Грея при помощи уже написанного генератора p. function monotonic(int n): list<int[n]> for i in range(n) for x in (p(n, i) if i % 2 == 0 else p(n, i, reverse=True)) yield x

Визуализация работы алгоритма

Для [math]n = 5[/math]

Для [math]n = 6[/math]

См. Также

• Коды Грея

• Коды антигрея

Источники информации

• Wikipedia — Gray code

• Википедия — Код Грея

• Robert W. Doran The Gray Code, Journal of Universal Computer Science, vol. 13, no. 11 (2007).

• Alternative Combinatorial Gray Codes