Теорема о рекурсии

Давайте рассмотрим произвольную вычислимую функцию от двух аргументов - [math]V(x, y)[/math]. Теорема о рекурсии утверждает, что всегда можно найти эквивалентную ей [math]p(y) = V(p, y)[/math], которая будет использовать саму себя для вычисления значения. Сформулируем теорему более формально.

Теорема (Клини, о рекурсии / Kleene's recursion theorem):

Пусть — вычислимая функция. Тогда найдётся такая вычислимая , что .

Доказательство:

Приведем конструктивное доказательство теоремы. Пусть есть вычислимая [math]V(x,y)[/math]. Будем поэтапно строить функцию [math]p(y)[/math].
Предположим, что у нас в распоряжении есть функция [math]\mathrm{getSrc()}[/math], которая вернет код [math]p(y)[/math]. Тогда саму [math]p(y)[/math] можно переписать так:

function p(T y): 
   T V(T x, T y):
      ...

   void main():
      return V(getSrc(), y)

   string getSrc():
      ...

Теперь нужно определить функцию [math]\mathrm{getSrc()}[/math]. Предположим, что внутри [math]p(y)[/math] мы можем определить функцию [math]\mathrm{getOtherSrc()}[/math], состоящую из одного оператора [math]return[/math], которая вернет весь предшествующий ей код. Тогда [math]p(y)[/math] перепишется так.

function p(T y):
   T V(T x, T y):
      ...

   void main():
      return V(getSrc(), y)

   string getSrc():
      string src = getOtherSrc()
      return src + "string getOtherSrc():" + "\n" + "return" + src + "\n";

Теперь [math]\mathrm{getOtherSrc()}[/math] определяется очевидным образом, и мы получаем итоговую версию функции [math]p(y)[/math]

function p(T y):
   T V(T x, T y):
      ...

   void main():
      return V(getSrc(), y)

   string getSrc():
      string src = getOtherSrc()
      return src + "string getOtherSrc():" + "\n" + "return" + src + "\n";

   string getOtherSrc():
      return "function  p(T y):       
                           V(T x, T y):
                              ...

                           main():
                              return V(getSrc(), y)
 
                           string getSrc():
                              string src = getOtherSrc();
                              return src + "string getOtherSrc():" + "\n" + "return" + src + "\n;";

}

Иначе говоря, если рассмотреть [math]V(x, y)[/math], как программу, использующую x в качестве исходного кода и выполняющую действие над y, то теорема о рекурсии показывает, что мы можем написать эквивалентную ей программу [math]p(y) = V(p, y)[/math], которая будет использовать собственный исходный код.

Приведем так же альтернативую формулировку теоремы и альтернативное (неконструктивное) доказательство.

Теорема о неподвижной точке

Введем на множестве натуральных чисел следующее отношение: и докажем вспомогательную лемму.

Определение:

Функция называется [math]\equiv[/math] — продолжением функции , если для всех таких , что определено, .

Лемма:

Для всякой вычислимой функции существует вычислимая и всюду определенная функция , являющаяся ее — продолжением.

Доказательство:

Рассмотрим вычислимую функцию от двух аргументов [math] V(n, x) = U(f(n), x)[/math]. Так как [math]V[/math] — вычислимая, то существует вычислимая и всюду определенная функция [math]s(n)[/math] такая, что: [math]V(n, x) = U(s(n), x)[/math].

Покажем, что [math]s(n)[/math] будет являться [math]\equiv[/math] — продолжением функции [math]f(n)[/math]. Если [math]f(n)[/math] определено, то [math]s(n)[/math] вернет другой номер той же вычислимой функции. Если же [math]f(n)[/math] не определено, то [math]s(n)[/math] вернет номер нигде не определенной функции.

Таким образом, мы нашли — продолжение для произвольно взятой вычислимой функции .

Теорема (Роджерс, о неподвижной точке / Rogers' fixed-point theorem):

Пусть — универсальная функция для класса вычислимых функций одного аргумента, — всюду определённая вычислимая функция одного аргумента. Тогда найдется такое , что , то есть и - номера одной функции.

Доказательство:

Будем доказывать теорему от противного: предположим, что существует всюду определенная вычислимая функция [math]h[/math], такая, что [math]U_n \neq U_{h(n)}[/math] для любого [math]n[/math]. В терминах введенного нами отношения, это значит, что [math]h[/math] не имеет [math]\equiv[/math] — неподвижных точек.

Рассмотрим некоторую вычислимую функцию, от которой никакая вычислимая функция не может отличаться всюду. Такой будет, например [math]f(x) = U(x, x)[/math] (действительно, если предположить, что существует вычислимая функция [math]g(n)[/math], всюду отличная от [math]f(n) = U(n, n)[/math], то нарушается определение универсальной функции.)

Согласно доказанной нами лемме, существует вычислимая и всюду определенная функция , являющаяся — продолжением функции . Давайте зададим функцию следующим образом: , где - искомая всюду определенная, вычислимая функция, не имеющая — неподвижных точек. Тогда всюду отличается от (в силу того, что не имеет неподвижных точек.) Получили противоречие, из чего следует, что такой функции не существует.

Утверждение:

, где — множество слов, допускаемых программой с номером .

По теореме о рекурсии, программа может знать свой исходный код. Значит, в неё можно написать функцию [math] \mathrm{getSrc()} [/math], которая вернёт строку — исходный код программы. Напишем такую программу:

 p(q):
   if p.getSrc() == q.getSrc()
     return 1
   else
     while true

Программа знает свой код, что то же самое, что и знает свой номер. Как видно из её кода, она допускает только одно число — свой номер.

См. также

Участник:Shersh/Теорема_о_рекурсии

Источники информации

Wikipedia — Kleene's recursion theorem
Верещагин Н. К., Шень А. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 3. Вычислимые функции — М.: МЦНМО, 1999 - С. 176
Kleene, Stephen On notation for ordinal numbers - The Journal of Symbolic Logic, 1938 - С. 150-155

Теорема о рекурсии