Матричное представление перестановок

Определение

Определение:

Матрица перестановки (англ. Permutation matrix) — квадратная бинарная матрица, в каждой строке и в каждом столбце которой находится лишь одна единица.

Определение:

Если матрица перестановок [math]P[/math] получена из единичной матрицы [math]E[/math] перестановкой местами двух строк (или двух столбцов), то такая матрица называется элементарной матрицей перестановок (англ. Elementary permutation matrix).

Каждая матрица перестановки размера [math]n \times n[/math] является матричным представлением перестановки порядка [math]n[/math].

Пусть дана перестановка [math]\sigma[/math] порядка [math]n[/math]:

[math]\begin{pmatrix} 1 & 2& \ldots & n\\ \sigma(1)& \sigma(2) & \ldots & \sigma(n) \end{pmatrix}[/math]

Соответствующей матрицей перестановки является матрица [math]n \times n[/math] вида:

[math]P_\sigma = \begin{pmatrix} \mathbf{e}_{\sigma(1)}\\ \mathbf{e}_{\sigma(2)}\\ \vdots \\ \mathbf{e}_{\sigma(n)} \end{pmatrix}[/math], где [math]\mathbf{e}_{i}[/math] — двоичный вектор длины [math]n[/math], [math]i[/math]-й элемент которого равен единице, а остальные равны нулю.

Пример

Перестановка:

[math]\pi = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}[/math]

Соответствующая матрица:

[math]P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}[/math]

Свойства

Утверждение:

Для любых двух перестановок [math]\sigma, \pi[/math] их матрицы обладают свойством: [math]P_\sigma P_\pi = P_{\pi \circ \sigma}[/math] где [math]\circ[/math] — операция умножения двух перестановок.

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим [math]{(P_\sigma P_\pi)}_{i,j} = \sum\limits_{x = 1}^{n}{({P_\sigma}_{i,x} {P_\pi}_{x,j})}[/math] эта сумма может быть равна нулю или единице, причем единице в том случае, если в [math]i[/math] - той строчке на [math]k[/math] - том столбце матрицы [math]P_\sigma[/math] и в [math]k[/math] - той строчке на [math]j[/math] - том столбце матрицы [math]P_\pi[/math] стоят единицы. [math]{P_\sigma}_{i,k} = 1[/math] значит, что в перестановке [math]\sigma[/math] на [math]i[/math] - том месте стоит элемент [math]k[/math], и [math]{P_\pi}_{k,j} = 1[/math] означает что в перестановке [math]\pi[/math] на [math]k[/math] - том месте стоит элемент [math]j[/math], а [math]{(P_\sigma P_\pi)}_{i,j} = 1[/math] означает что в перестановке, которой соответствует эта матрица, так же на [math]i[/math] - том месте стоит элемент [math]j[/math]. Но также известно, что [math] (\pi \circ \sigma)(i) = \pi(\sigma(i)) = j [/math]. В результате если [math]{(P_\sigma P_\pi)}_{i,j} = 1[/math], то [math]({P_{\pi \circ \sigma}})_{i,j} = 1[/math]. Аналогичные рассуждения можно провести когда [math]{(P_\sigma P_\pi)}_{i,j} = 0[/math], и также получим, что [math]({P_{\pi \circ \sigma}})_{i,j} = 0[/math]. Поэтому для любых [math]i,j[/math] справедливо [math]{(P_\sigma P_\pi)}_{i,j} = ({P_{\pi \circ \sigma}})_{i,j}[/math], а раз такое равентсво выполняется, то [math]P_\sigma P_\pi = P_{\pi \circ \sigma}[/math].

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение:

Для любой матрицы перестановок существует обратная: [math]P_\sigma^{-1} = P_\sigma^T[/math] где [math]P^T[/math] — транспонированная матрица [math]P[/math].

[math]\triangleright[/math]

Так как перестановки являются группой, то для любой перестановки существует обратная. Так как любая перестановка имеет свою матрицу перестановки, то утверждение о существовании обратной матрицы перестановки также справедливо.

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение:

Для любой матрицы перестановок [math]P[/math] справедливо: [math]P^T P = P P^T = E[/math] где [math]E[/math] — единичная матрица.

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим [math]{(P P^T)}_{ij} = \sum\limits_{k = 1}^{n}{(P)}_{ik} {(P^T)}_{kj} = \sum\limits_{k=1}^{n} {(P)}_{ik} {(P)}_{jk} = {\delta}_{ij} = {E} [/math] Теперь в обратную сторону [math]{(P^T P)}_{ij} = \sum\limits_{k = 1}^{n}{(P^T)}_{ik} {(P)}_{kj} = \sum\limits_{k=1}^{n} {(P)}_{ki} {(P)}_{kj} = {\delta}_{ij} = {E} [/math] где [math] {\delta}_{ij} [/math] — символ Кронекера.

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение:

Произведение матриц перестановок есть матрица перестановок.

[math]\triangleright[/math]

Произведение перестановок есть перестановка, значит и произведение матриц перестановок есть матрица перестановок.

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение:

Умножение произвольной матрицы [math]A[/math] на перестановочную соответственно меняет местами её столбцы. Умножение перестановочной матрицы на произвольную [math]A[/math] меняет местами строки в [math]A[/math].

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим произвольную матрицу [math]A[/math] и матрицу перестановки [math]P[/math]: возьмем [math]i[/math] — тую строчку матрицы [math]A[/math] и умножим на [math]j[/math] — тый столбец [math]P[/math], так как [math]j[/math] — тый столбец матрицы [math]P[/math] это двоичный вектор с одной единицей, то от [math]i[/math] — той строчки матрицы [math]A[/math] выживет один элемент, причем на [math]j[/math] — том месте. Умножив [math]i[/math] — тую строчку матрицы [math]A[/math], на остальные столбцы матрицы [math]P[/math], получим, что в [math]i[/math] — той строке матрицы [math]A[/math] элементы поменяются местами. Умножая другие строки матрицы [math]A[/math], будем наблюдать похожее (так как умножаем на те же самые столбцы матрицы [math]P[/math]). Таким образом получим, что в матрице [math]A[/math] столбцы поменялись местами. Доказательство второго утверждения аналогично.

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение:

Квадрат элементарной матрицы перестановок есть единичная матрица.

Утверждение:

Матрица перестановок [math]n[/math]-го порядка может быть представлена в виде произведения [math](n - 1)[/math] элементарных матриц перестановок.

Применение

Благодаря своим свойствам, матрицам перестановок нашлось применение в линейной алгебре:

пусть задана матрица перестановки [math]P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}[/math], которая соответствует перестановке [math]\pi = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}[/math], и матрица [math]A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{pmatrix}[/math],

тогда перемножив получим:

• [math]PA = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 7 & 8 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{pmatrix}[/math],

видно, что вторая и третья строки поменялись местами;

• [math]AP = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 4 & 6 & 5 \\ 7 & 9 & 8 \\ \end{pmatrix}[/math],

видно, что второй и третий столбец поменялись местами.

Источники информации

• Матрица перестановки — Википедия
• Матрица перестановки
• Permutation matrix
• Brualdi, Richard A. (2006). Combinatorial matrix classes. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. Cambridge: Cambridge University Press.