Корневая декомпозиция с операциями: get, insert, erase

Корневая декомпозиция с операциями удаления, вставки в произвольное место и вычисления функции на отрезке.

Описание модификации исходной структуры

Пусть дан массив [math]A[/math] размерности [math]n[/math] и [math]m[/math] запросов вида: посчитать сумму чисел на отрезке, вставить элемент в любую позицию, удалить любой элемент.

Будем поддерживать разбиение массива [math]A[/math] на блоки. Введем операцию [math]\mathrm{split}[/math], которая позволяет изменить структуру и разрезать один блок на два других. Такая операция увеличит количество блоков на [math]O(1)[/math]. Введем вспомогательную функцию [math]\mathrm{rebuild}[/math]. Данная функция позволяет вновь перестроить структуру.

Реализуем две основные операции [math]\mathrm{split}[/math] и [math]\mathrm{rebuild}[/math]. Остальные операции выразим через них. Пусть время работы операции составляет [math]\mathrm{split}[/math] [math]O(cnt + len)[/math] и операции [math]\mathrm{rebuild}[/math] составляет [math]O(|A| + cnt)[/math], где [math]len[/math] — длина блоков, [math]cnt[/math] — количество блоков. Ниже будет приведена реализация этих функций с такой асимптотикой

Выберем [math]len = \sqrt n[/math], тогда после операции [math]build[/math] будет [math]cnt = O(\sqrt n)[/math] блоков, где [math]n[/math] текущие количество элементов в структуре. Заметим, что любая операция добавляет не более, чем [math]4[/math] новых блоков. После каждых [math]k[/math] операций вызовем [math]\mathrm{rebuild}[/math].

Асимптотика выполнения [math]m[/math] запросов составляет: [math]O\left(\dfrac m k \cdot (n + 4 \cdot k) + m \cdot (len + 4 \cdot k)\right)[/math].

Найдем минимум функции, который достигается при [math]k = O(\sqrt n)[/math].

Итоговое время работы: [math]O(\sqrt n \cdot (n + m))[/math].

Построение

Задача

Cделаем следующие действия:

• разделим массив [math]A[/math] на блоки длины [math]len = \lfloor \sqrt{n} \rfloor[/math],
• в каждом блоке заранее посчитаем необходимую операцию,
• для каждого блока сохраним индекс самого левого и самого правого элемента в массивах [math]L, R[/math],
• результаты подсчета запишем в массив [math]B[/math] размерности [math]cnt[/math], где [math]cnt = \left\lceil \dfrac{n}{len} \right\rceil[/math] — количество блоков,
• заведем массив [math]T[/math], в котором храним актуальный порядок блоков. [math]T = [0, 1, \ldots, cnt - 1][/math] соответствует порядку [math]B_0, B_1 , \ldots , B_{cnt-1}[/math].

Пример реализации построения для операции [math] + [/math]:

void build():
   for i = 0 ... n - 1
       T[i] = i
       L[i] = i * len
       R[i] = (i + 1) * len - 1
   for i = 0 ... n - 1
       B[i / len] = B[i / len] + A[i]

Построение, происходит за [math]O(n)[/math] времени.

Операция split

Данная операций нужна для реализации операций: [math]\mathrm{insert}[/math], [math]\mathrm{erase}[/math], [math]\mathrm{get}[/math]. Она позволяет разделить один блок на два других с целью создания разреза, который необходим в других операциях. Индекс [math]i[/math] называется разрезом, если не существует такого актуального блока, которому принадлежит индекс [math]i[/math] и [math]i + 1[/math] одновременно.

Пусть получен запрос на выполнение операции для индекса [math]x[/math]. Этот индекс входит ровно в один блок массива [math]B[/math], пусть индекс этого блока – [math]ind[/math]. После операции [math]\mathrm{split}[/math] этот блок поделится на [math][L[ind], x][/math] и [math][x + 1, R[ind]][/math], если [math]x[/math] был в середине блока, иначе [math]x[/math] уже является разрезом и никакая операций не требуется. Как мы видим после операции у нас появилось максимум два новых блока.

Для удобства реализации в массивы [math]B, L, R[/math] можно только дописывать новую информацию в конце, что соответствует созданию новых блоков.

Блок считается актуальным, если он присутствует в массиве [math]T[/math].

Перейдем к реализации:

• Найдем в какой актуальный блок входит [math]x[/math]
• Проверим, что [math]x[/math] не является разрезом
• Создадим два новых блока. Для каждого из них посчитаем значение функции, а также зададим правильные значения в массивах [math]L[/math] и [math]R[/math]
• Удалим старый блок из перестановки и запишем туда два других.

int createNewBlock(int l, int r): // Вспомогательная функция. Позволяет создать блок с [math]l[/math] по [math]r[/math].
   result = 0
   for i = l ... r
       result = result + A[i]
   B.pushBack(result)
   L.pushBack(l)
   R.pushBack(r) 
   cnt++
   return cnt - 1

int split(int x):
   ind = 0
   for i = 0 ... |T| - 1
       if L[i] <= x and x <= R[i]
           ind = i
   if L[ind] == x or R[ind] == x or x < 0
       return 0
   first = createNewBlock(L[ind], x)
   second = createNewBlock(x, R[ind])
   T.erase(ind) // операций T.erase(x) удаляет элемент под номером x и сдвигает массив T. Время работы [math]O(|T|)[/math] 
   T.insert(ind. first) // операций T.insert(x, y) вставляет в массив T после индекса x значение y и сдвигает массив. Время работы [math]O(|T|)[/math] 
   T.insert(ind + 1, second)
   return ind

Асимптотика: [math]O(cnt)[/math] – поиск нужного блока, [math]O(len)[/math] – подсчет функции. Итог: [math]O(len + cnt)[/math]. Также заметим, что мы увеличили [math]cnt[/math] на [math]2[/math].

Операция rebuild

Вторая необходимая операция — [math]\mathrm{rebuild}[/math]. Заметим, что после операций [math]\mathrm{split}[/math] количество блоков увеличивалось, а работа всех функций зависит от этого числа. Для того чтоб [math]cnt[/math] не стало слишком большим будем полностью перестраивать структуру изменяя [math]cnt[/math] на базовое значение равное [math]cnt = \left\lceil \dfrac{n}{len} \right\rceil[/math].

Будем восстанавливать из актуальных блоков массив [math]A[/math]. Потом очищать все текущие блоки, а затем вызывать операцию [math]\mathrm{build}[/math] для построение новой структуры.

Перейдем к реализации:

• Восстановим актуальную версию массива [math]A[/math]
• Очистим массивы [math]B, L, R[/math], удалив все текущие блоки
• Вызовем операцию [math]\mathrm{build}[/math]

void rebuild():
   tempA // временная актуальная копия массива [math]A[/math] 
   for i = 0 ... |T| - 1
       for j = L[i] ... R[i]
           tempA.pushBack(A[j])
   A = tempA
   B.clear()
   L.clear()
   R.clear()
   build()

Асимптотика: заметим, оба циклам суммарно запишут ровно столько элементов, сколько их было в структуре. [math]O(|A| + cnt)[/math].

Операция get

Пусть получен запрос на выполнение операции на отрезке [math][l, r][/math]. Будем выполнять операции только на целых блоках, изменим нашу структуры так, чтобы граница отрезка никогда не попадал в середину блока.

Перейдем к реализации:

• Разделим наши блоки при помощи операции [math]\mathrm{split}[/math]
• Посчитаем операцию на целых блоках использую массив [math]B[/math]

int get(int l, int r):
   result = 0
   indexL = split(l – 1)
   indexR = split(r) – 1 
   for i = indexL ... indexR
       result = result + B[T[i]]
   return result

Асимптотика: [math]O(split)[/math] и [math]O(|T|)[/math]. Итого: [math]O(cnt + len)[/math].

Операция erase

Пусть получен запрос на выполнение операции удаления числа на позиции [math]x[/math]. Аналогично операции [math]get[/math], мы не хотим удалять из середины блока. Когда [math]x[/math] является единственным числом в блоке, мы можем просто удалить его из массива [math]T[/math].

Перейдем к реализации:

• Разделим наши блоки при помощи операции [math]\mathrm{split}[/math]
• Посчитаем операцию на целых блоках использую массив [math]B[/math]

void erase(int x):
   split(x - 1) 
   ind = split(x)
   T.erase(ind)

Асимптотика: [math]O(cnt + len)[/math].

Операция insert

Пусть получен запрос на выполнение вставить число [math]y[/math] после числа с индексом [math]x[/math]. Аналогично операции [math]get[/math], мы не хотим вставлять в середину блока. Когда нужно вставить на границу блока, то мы можем просто добавить число [math]x[/math] в конец массива [math]A[/math] и создать новый блок размер [math]1[/math], который ссылается на это число.

Перейдем к реализации:

• Разделим наши блоки при помощи операции [math]\mathrm{split}[/math]
• Добавим в конец [math]A[/math] число [math]y[/math]
• Создадим новый блок и вставим в нужное место

void insert(int x, int y):
   ind = split(x)
   A.pushBack(y)
   indexNewBlock = createNewBlock(|A| - 1, |A| - 1)
   T.insert(ind, indexNewBlock)

Асимптотика: [math]O(cnt + len)[/math].

См. также

• Дерево отрезков. Построение
• Многомерное дерево отрезков
• Статистики на отрезках. Корневая эвристика