Вероятностное пространство, элементарный исход, событие

Основные определения

Определение:

Дискретным вероятностным пространством (англ. discrete probability space) называется пара из некоторого (не более, чем счетного) множества [math]\Omega[/math] и функции [math]p\colon \Omega \to \mathbb R_+ [/math] ( [math]\Omega[/math] называется множеством элементарных исходов (англ. sample space), [math]\omega \in \Omega[/math] — элементарным исходом (англ. elementary outcome), такая, что [math]\sum_{\omega \in \Omega}\limits {p(\omega)} = 1[/math].

[math]p[/math] называют дискретной вероятностной мерой (англ. discrete probability measure), или дискретной плотностью вероятности (англ. discrete probability density).

[math]p(\omega)[/math] — вероятность элементарного исхода.

Определение:

Множество [math]A \subset \Omega[/math] называется событием (англ. event).

[math]p(A)= \sum_{a \in A}\limits {p(a)}[/math], то есть вероятность события равна сумме вероятностей входящих в него элементарных исходов.

Определение:

Прямым произведением вероятностных пространств (англ. direct product of probability spaces) [math]X=\langle\Omega_{1},p{}_{1}\rangle[/math] и [math]Y=\langle\Omega_{2},p{}_{2}\rangle[/math] называется такое вероятностное пространство [math]Z\:\langle\Omega,p\rangle \: = X\times Y[/math], что [math]\Omega=\Omega_{1}\times\Omega_{2}[/math] [math] p(\omega_{1},\omega_{2}) = p(\omega_{1})\cdot p(\omega_{2})[/math]

Другими словами, [math]\Omega[/math] — множество всех пар элементарных исходов из [math]X[/math] и [math]Y[/math] (т.е. декартово произведение этих множеств).

Примеры вероятностных пространств

1. Конечные вероятностные пространства
   1. Честная монета
      Множество исходов [math]\Omega = \left\{0,1\right\}[/math], где [math]0[/math] — выпадает орел, [math]1[/math] — выпадает решка. [math] p(0)=p(1)=0,5.[/math]
      Рассмотрим все возможные события и их вероятности для этого пространства.
      [math]\varnothing [/math]: [math] p(\varnothing)=0[/math]. То есть вероятность того, что не выпадет ничего, равна нулю.
      [math]\left\{0\right\} [/math]: [math] p(0)=0,5[/math]. Вероятность того, что выпадет орел, равна одной второй.
      [math]\left\{1\right\} [/math]: [math] p(1)=0,5[/math]. Вероятность того, что выпадет решка, равна одной второй.
      [math]\left\{0,1\right\} [/math]: [math] p(\left\{0,1\right\})=1[/math]. Действительно, вероятность того, что выпадет орел или решка, равна единице.
   2. Нечестная монета
      Множество исходов здесь такое же, как и в предыдущем пространстве, однако [math]p(0)=x, p(1) = 1 - x=y[/math], где [math]x,y \in \left[ 0,1 \right ][/math].
   3. Игральная кость
      Множество исходов [math]\Omega = \left\{1,2,3,4,5,6\right\}[/math]. [math] p(i)= \dfrac {1}{6}.[/math] Рассмотрим некоторые события этого пространства.
      [math]A=\left\{1,2,3 \right\}[/math] : [math]p(A)=\dfrac {1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}.[/math] Вероятность выпадения одного из трех чисел — [math]1, 2, 3[/math] — равна одной второй.
      [math]B=\left\{2,4 \right\}[/math] : [math]p(B)=\dfrac {1}{6}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}.[/math] Числа [math]2[/math] или [math]4[/math] выпадут с вероятностью одна треть.
   4. Колода карт
      [math]\Omega = \left\{\left \langle i,j\right \rangle| i \in \left\{1..4\right\}; j \in \left\{1..13\right\} \right\}[/math]. Здесь [math]i[/math] — масть, [math]j[/math] — достоинство карты.
      Вероятность элементарного исхода этого пространства [math]p(\left \langle i,j\right \rangle)=\dfrac {1}{52}.[/math]
2. Бесконечное вероятностное пространство
   Пусть задано множество следующих элементарных исходов: выпадение орла на [math]i[/math]-ом подбрасывании честной монеты в первый раз.
   Тогда вероятность исхода с номером [math]i[/math] равна: [math] p(A_{i}) = \dfrac {1}{2^{i} } .[/math]
   Очевидно, что вероятности этих событий образовывают убывающую геометрическую прогрессию с знаменателем прогрессии равным [math] \dfrac {1}{2} .[/math] Найдем сумму этой прогрессии: [math] \sum \limits_{i=1}^{\infty} p(A_{i}) = \dfrac { b_{1} } { 1 - q } = \dfrac { \dfrac{1}{2} }{ 1 -\dfrac{1}{2} } = 1.[/math]
   Так как сумма всех элементарных исходов равна [math]1,[/math] то это множество является вероятностым пространством.

См. также

• Дискретная случайная величина

Источники информации

• Википедия — Вероятностное пространство
• MachineLearning.ru — Дискретное вероятностное пространство
• Ширяев А.Н. Вероятность. — М.: МЦНМО, 2004.