Определения
| Определение: |
Cлучайные величины [math] \xi[/math] и [math]\eta[/math] называются независимыми (англ. independent), если [math]\forall \alpha ,\beta \in \mathbb R[/math] события [math][ \xi \leqslant \alpha ][/math] и [math][ \eta \leqslant \beta ][/math] независимы.
[math]P((\xi \leqslant \alpha) \cap (\eta \leqslant \beta)) = P(\xi \leqslant \alpha)·P(\eta \leqslant \beta)[/math] |
Иначе говоря, две случайные величины называются независимыми, если по значению одной нельзя сделать выводы о значении другой.
Независимость в совокупности
| Определение: |
| Случайные величины [math]\xi_1,...,\xi_n[/math] называются независимы в совокупности (англ. mutually independent), если события [math]\xi_1 \leqslant \alpha_1,...,\xi_n \leqslant \alpha_n[/math] независимы в совокупности[1]. |
Примеры
Карты
Пусть есть колода из [math]36[/math] карт ([math]4[/math] масти и [math]9[/math] номиналов). Мы вытягиваем одну карту из случайным образом перемешанной колоды (вероятности вытягивания каждой отдельной карты равны). Определим следующие случайные величины:
[math]\xi[/math] — масть вытянутой карты : [math]0[/math] — червы, [math]1[/math] — пики, [math]2[/math] — крести, [math]3[/math] — бубны
[math]\eta[/math]: принимает значение [math]0[/math] при вытягивании карт с номиналалами [math]6, 7, 8, 9, 10[/math] или [math]1[/math] при вытягивании вальта, дамы, короля или туза
Для доказательства того, что [math]\xi, \eta[/math] независимы, требуется рассмотреть все [math]\alpha,\beta[/math] и проверить выполнение равенства:
[math]P((\xi \leqslant \alpha)\cap(\eta \leqslant \beta)) = P(\xi \leqslant \alpha) \cdot P(\eta \leqslant \beta)[/math]
Для примера рассмотрим [math]\alpha = 0, \beta = 0[/math], остальные рассматриваются аналогично:
[math]P((\xi \leqslant 0)\cap(\eta \leqslant 0)) = [/math] [math] \frac{5}{36} [/math]
[math]P(\xi \leqslant 0) \cdot P(\eta \leqslant 0) = [/math] [math] \frac{1}{4} [/math] [math] \cdot [/math] [math] \frac{5}{9} [/math] [math] = [/math] [math] \frac{5}{36} [/math]
Тетраэдр
Рассмотрим вероятностное пространство «тетраэдр». Каждое число соответствует грани тетраэдра (по аналогии с игральной костью): [math]\Omega = \mathcal {f} 0, 1, 2, 3 \mathcal {g}[/math]. [math]\xi (i) = i~mod~2[/math], [math]\eta(i) = \left \lfloor i / 2 \right \rfloor[/math].
Рассмотрим случай: [math]\alpha = 0[/math], [math]\beta = 1[/math]. [math]P(\xi \leqslant 0) = [/math] [math] \frac{1}{2} [/math], [math]P(\eta \leqslant 1) = 1[/math], [math]P((\xi \leqslant 0) \cap (\eta \leqslant 1)) = [/math] [math] \frac{1}{2} [/math].
Для этих значений [math]\alpha[/math] и [math]\beta[/math] события являются независимыми, так же, как и для других (рассматривается аналогично), поэтому эти случайные величины независимы.
Заметим, что если: [math]\xi (i) = i~mod~3[/math], [math]\eta(i) = \left \lfloor i / 3 \right \rfloor[/math], то эти величины зависимы: положим [math]\alpha = 0, \beta = 0[/math]. Тогда [math]P(\xi \leqslant 0) = [/math] [math] \frac{1}{2} [/math] , [math]P(\eta \leqslant 0) = [/math] [math] \frac{3}{4} [/math] , [math]P((\xi \leqslant 0) \cap (\eta \leqslant 0)) = [/math] [math] \frac{1}{4} [/math] [math] \neq P(\xi \leqslant 0) P(\eta \leqslant 0)[/math].
Честная игральная кость
Рассмотрим вероятностное пространство «честная игральная кость»: [math]\Omega = \mathcal {f} 1, 2, 3, 4, 5, 6 \mathcal {g}[/math], [math]\xi (i) = i~mod~2[/math], [math]\eta (i) = \mathcal {b} i / 3 \mathcal {c}[/math].
Для того, чтобы показать, что величины [math]\xi, \eta[/math] зависимы, надо найти такие [math]\alpha, \beta[/math], при которых
[math]P((\xi \leqslant \alpha)\cap(\eta \leqslant \beta)) \neq P(\xi \leqslant \alpha) \cdot P(\eta \leqslant \beta)[/math]
[math]При \alpha = 0, \beta = 1[/math]:
[math]P((\xi \leqslant 0)\cap(\eta \leqslant 1)) = [/math] [math] \frac{2}{6} [/math] [math] = [/math] [math] \frac{1}{3} [/math], [math]P(\xi \leqslant 0) = [/math] [math] \frac{1}{2} [/math], [math]P(\eta \leqslant 1) = [/math] [math] \frac{5}{6} [/math]
[math]P((\xi \leqslant 0)\cap(\eta \leqslant 1)) \neq P(\xi \leqslant 0) \cdot P(\eta \leqslant 1)[/math], откуда видно, что величины не являются независимыми.
Примечания
Источники информации
