Неравенство Маркова
| Определение: |
| Нера́венство Ма́ркова (англ. Markov's inequality) в теории вероятностей дает оценку вероятности, что случайная величина превзойдет по модулю фиксированную положительную константу, в терминах её математического ожидания. Получаемая оценка обычно груба, однако она позволяет получить определённое представление о распределении, когда последнее не известно
явным образом. |
| Теорема (Неравенство Маркова): |
Пусть случайная величина [math]X: \Omega \rightarrow \mathbb R\mathrm+[/math] определена на вероятностном пространстве ( [math]\Omega[/math], [math]F[/math], [math]\mathbb R[/math]), и ее математическое ожидание [math] \mathbb E\mathrm |\xi|\lt \mathcal {1}[/math]. Тогда:
- [math]\forall ~x \gt 0~~ \mathbb P\mathrm(|\xi| \geqslant x)\leqslant \dfrac {\mathbb E\mathrm |\xi|}{x} [/math]
где:
- [math] x [/math] — константа соответствующая некоторому событию в терминах математического ожидания
- [math] \xi [/math] — случайная величина
- [math] \mathbb P\mathrm(|\xi| \geqslant x)[/math] — вероятность отклонения модуля случайной величины от [math] x [/math]
- [math]\mathbb E\mathrm |\xi|[/math] — математическое ожидание случайной величины
|
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Возьмем для доказательства следующее понятие:
Пусть [math] A[/math] — некоторое событие. Назовем индикатором события [math]A[/math] случайную величину [math]I[/math], равную единице если событие [math]A[/math] произошло, и нулю в противном случае. По определению величина [math]I(A)[/math] имеет распределение Бернулли с параметром:
- [math] p = \mathbb P\mathrm (I(A) = 1) = \mathbb P\mathrm (A)[/math],
и ее математическое ожидание равно вероятности успеха
[math] p = \mathbb P\mathrm (A) [/math].
Индикаторы прямого и противоположного событий связаны равенством [math]I(A) + I(\overline A) = 1[/math]. Поэтому
- [math]|\xi|=|\xi|\cdot I(|\xi|\lt x)+|\xi|\cdot I(|\xi|\geqslant x)\geqslant |\xi|\cdot I(|\xi|\geqslant x)\geqslant x\cdot I(|\xi| \geqslant x)[/math].
Тогда:
- [math] \mathbb E |\xi|\geqslant \mathbb E\mathrm(x\cdot I(|\xi|\geqslant x)) = x\cdot \mathbb P\mathrm (|\xi|\geqslant x) [/math].
Разделим обе части на [math]x[/math]:
- [math] \mathbb P (|\xi| \geqslant x)\leqslant \dfrac {\mathbb E\mathrm |\xi|}{x} [/math]
|
| [math]\triangleleft[/math] |
Пример
Ученики в среднем опаздывают на 3 минуты. Какова вероятность того, что ученик опоздает на 15 минут и более? Дать грубую оценку сверху.
- [math]\mathbb P\mathrm (|\xi|\geqslant 15)\leqslant 3/15 = 0.2[/math]
Неравенство Чебышева
| Определение: |
| Неравенство Чебышева (англ. Chebyshev's inequality) является следствием неравенства Маркова и утверждает, что случайная величина в основном принимает значения, близкие к значению математического ожидания. Говоря более точно, оно дает оценку вероятности, что случайная величина примет значение, далекое от своего среднего. |
| Теорема (Неравенство Чебышева): |
Если [math]\mathbb E\mathrm \xi^2\lt \mathcal 1[/math], то [math]\forall x \gt 0[/math] будет выполнено
- [math]\mathbb P\mathrm (|\xi - \mathbb E\mathrm \xi| \geqslant x) \leqslant \dfrac {\mathbb D\mathrm \xi}{x^2}[/math]
где:
- [math]\mathbb E\mathrm \xi^2[/math] — математическое ожидание квадрата случайного события.
- [math]E\mathrm \xi[/math] — математическое ожидание случайного события
- [math] P\mathrm (|\xi - \mathbb E\mathrm \xi| \geqslant x) [/math] — вероятность отклонения случайного события от его математического ожидания хотя бы на [math] x[/math]
- [math] \mathbb D\mathrm \xi [/math] — дисперсия случайного события
|
| Доказательство: |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Для [math]x\gt 0[/math] неравенство [math]|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| \geqslant x[/math] равносильно неравенству [math](\xi-\mathbb E\mathrm \xi)^2 \geqslant x^2[/math], поэтому
[math]\mathbb P\mathrm (|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| \geqslant x) = \mathbb P\mathrm((\xi-\mathbb E\mathrm \xi)^2 \geqslant x^2 ) \leqslant \dfrac {\mathbb E\mathrm(\xi-\mathbb E\mathrm\xi)^2}{x^2} = \dfrac {\mathbb D\mathrm \xi}{x^2}[/math] |
| [math]\triangleleft[/math] |
Следствие
Как следствие получим так называемое "правило трех сигм", которое означает, что вероятность случайной величины отличаться от своего математического ожидания более чем на три корня из дисперсии мала.
| Утверждение: |
Если [math]\mathbb E\mathrm \xi^2 \lt \mathcal {1}[/math], то
[math]\mathbb P\mathrm (|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| \leqslant 3\sqrt{
\mathbb D\mathrm \xi})\geqslant \dfrac {8}{9}[/math]. |
| [math]\triangleright[/math] |
|
Если в доказательстве неравенства Чебышева вместо [math] \geqslant [/math] поставить [math] \gt [/math] рассуждения не изменятся, так как
для [math]x\gt 0[/math] неравенство [math]|\xi-\mathbb E\mathrm \xi| \gt x[/math] равносильно неравенству [math](\xi-\mathbb E\mathrm \xi)^2 \gt x^2[/math], поэтому:
- [math]\mathbb P\mathrm (|\xi-\mathbb E\mathrm \xi|\gt 3\sqrt{\mathbb D\mathrm \xi})\leqslant \dfrac {\mathbb D\mathrm \xi}{(3\sqrt{\mathbb D\mathrm \xi})^2} = \dfrac {1} {9}[/math]
Отсюда заметим, что вероятность отклониться значению случайной величины от значения математического ожидания меньше чем [math]\dfrac {1}{9}[/math] |
| [math]\triangleleft[/math] |
См. также
Источники информации
