Производящая функция Дирихле

Определение:

Производящая функция Дирихле (англ. Dirichlet generating functions) последовательности [math]a_n[/math] — это формальный ряд вида: [math]A(s)= \frac{a_1}{1^s} + \frac{a_2}{2^s} + \frac{a_3}{3^s} + \dots = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^s}[/math],

Примечание

• Нумерация коэффициентов производящих функций Дирихле начинается с единицы, а не с нуля, как это было в случае обыкновенных производящих функций.
• что-то про то почему s, а не x

Примеры

Самая известная среди производящих функций Дирихле является дзета-функция Римана

Определение:

Дзета-функция Римана (англ. Dirichlet generating functions) -- производящая функция Дирихле, отвечающая последовательности a1, a2, a3, вида: a1 +a2 +a3 +... 1s 2s 3s

Ниже таблица с кучей разных примеров

Операции

Производящие функции Дирихле чаще используются в мультипликативной теории чисел, ввиду особого поведения относительно умножения.

Умножение

A(s) = ann−s и B(s) = bnn−s мы получаем функцию A(s)B(s)= a1b1 + a1b2 +a2b1 + a1b3 +a3b1 + a1b4 +a2b2 +a4b1 +... 1s 2s 3s 4s Внутренние суммирование ведется по всем разложениям числа m в произведение двух сомножителей. Таким образом, использование производящих функций Дирихле позволяет контролировать мультипликативнную структуру натуральных чисел.

Сложение

Сложение данных производящих функций соответствует обычному почтенному сложению последовательностей

//пример

Единица

Существует единица 1 = 1^-s

Обратимость

Любая производящая функция Дирихле A(s) с ненулевым свободным членом, а1 != 0, обратима: для нее су Можно привести доказательство теоремы о виде обратной функции для дето-функции Римана

Источники информации

• Вайнштейн Ф., Разбиение чисел. Журнал "Квант" № 11, 1988 год
• Производящие функции
• Wikipedia — Generating function
• Нахождение количества разбиений числа на слагаемые. Пентагональная теорема Эйлера
• Graham, Knuth, and Patashnik: Concrete Mathematics