Графы де Брюина

Основные определения

Определение:

Графом де Брюина (англ. De Bruijn graph) с параметром [math]l[/math] для [math]n[/math]-буквенного алфавита называется ориентированный граф [math]G(V, E)[/math], где [math] V - [/math] множество всех слов длины [math]l[/math] в заданном алфавите, и [math]e = (u, v) \in E \Leftrightarrow \exists [/math] слово [math]L[/math] длины [math]l+1[/math] в заданном алфавите такое, что [math] u = prefix(L) \wedge v = suffix(L) [/math]

Основные свойства

• [math] |V| = n^l [/math]. Очевидно из определения [math] V [/math].
• [math] l = 1 \Leftrightarrow G - [/math] полный граф. Действительно, для любых (необязательно различных) вершин [math] u, v \ \exists L = \alpha \beta [/math], где [math] \alpha, \beta - [/math] слова (символы), соответствующие вершинам [math] u, v [/math]. И тогда очевидно, что существует ребро [math] e = (u, v)\ \forall u, v \in V [/math].
• [math] \forall v \in V [/math] верно, что [math] deg_{out}(v) = n = deg_{in}(v)[/math]. Докажем первое равенство, второе аналогично. Существует ровно [math] n [/math] символов алфавита, которые можно добавить в конец слова [math] \alpha[/math], соответствующему вершине [math] v [/math]. Получим ровно [math] n [/math] различных слов. И у всех этих слов различные суффиксы длины [math] l [/math]. Таким образом, из вершины [math] v [/math] выходит ровно n рёбер.
• [math] G - [/math] эйлеров. Это следует из предыдущего свойства, так как [math] deg(v) = 0 [/math].