Дисперсия случайной величины

Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса данной случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания. Обозначается [math]D \xi[/math] в русской литературе и [math]\operatorname{Var}\,\xi[/math] в зарубежной. Квадратный корень из дисперсии, равный [math]\displaystyle \sigma[/math], называется среднеквадрати́чным отклоне́нием, станда́ртным отклоне́нием или стандартным разбросом. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.

Определение

Пусть [math]\displaystyle \xi[/math] — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда

[math]D \xi = \mathbb{E}\left[(\xi -\mathbb{E}[\xi])^2\right] [/math]

где символ [math]\mathbb{E}[/math] обозначает математическое ожидание.

Замечания

• В силу линейности математического ожидания справедлива формула:

  [math]D \xi = \mathbb{E}[\xi^2] - \left(\mathbb{E}[\xi]\right)^2;[/math]

Свойства

• Дисперсия любой случайной величины неотрицательна: [math]D[\xi] \geqslant 0;[/math]
• Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание;
• Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: [math]D[a] = 0.[/math] Верно и обратное: если [math]D[\xi]=0,[/math] то [math]\xi =\mathbb{E}[\xi][/math] почти всюду;
• Дисперсия суммы двух случайных величин равна:

  [math]\! D[\xi \pm \psi] = D[\xi] + D[\psi] \pm 2\,\text{Cov}(\xi, \psi)[/math], где [math]\! \text{Cov}(\xi, \psi)[/math] — их ковариация;

• [math]D\left[a\xi\right] = a^2D[\xi];[/math]
• [math]D\left[-\xi\right] = D[\xi];[/math]
• [math]D\left[\xi+b\right] = D[\xi].[/math]

Источники

[[1]]