Арифметика чисел в b-ичной системе счисления (Длинная арифметика)

Определение:

Длинная арифметика (англ. arbitrary-precision arithmetic, или bignum arithmetic) — это набор программных средств (структуры данных и алгоритмы), которые позволяют работать с числами гораздо больших величин, чем это позволяют стандартные типы данных.

Определение:

Классическая длинная арифметика — длинная арифметика, основная идея которой заключается в том, что число хранится в виде массива его цифр. Цифры могут использоваться из той или иной системы счисления, обычно применяются десятичная система счисления и её степени (десять тысяч, миллиард), двоичная система счисления либо любая другая.

Представление в памяти

Один из вариантов хранения длинных чисел — массив целых чисел int, где каждый элемент — это одна цифра числа в [math]b[/math]-ичной системе счисления. Для повышения эффективности каждый элемент вектора может содержать не одну, а несколько цифр (например, работаем в системе счисления по основанию миллиард, тогда каждый элемент вектора содержит [math]9[/math] цифр):

  const int base [math]\,=\,[/math] 1000 [math]\cdot[/math] 1000 [math]\cdot[/math] 1000

Цифры будут храниться в массиве в следующем порядке: сначала идут наименее значимые цифры (т.е., например, единицы, десятки, сотни, и т.д.).

Кроме того, все операции реализуются таким образом, что после выполнения любой из них лидирующие нули (т.е. лишние нули в начале числа) отсутствуют (разумеется, в предположении, что перед каждой операцией лидирующие нули также отсутствуют). Следует отметить, что в представленной реализации для числа ноль корректно поддерживаются сразу два представления: пустой вектор цифр, и вектор цифр, содержащий единственный элемент — ноль.

Операции над числами

Операции над числами производятся с помощью "школьных" алгоритмов сложения, вычитания, умножения, деления столбиком. После совершения операций следует не забывать удалять лидирующие нули, чтобы поддерживать предикат о том, что таковые отсутствуют. К ним также применимы алгоритмы быстрого умножения: Быстрое преобразование Фурье и Алгоритм Карацубы.

Приведённые ниже алгоритмы корректны в силу того, что они являются реализацией "школьных" алгоритмов действий в столбик:

[math]A = abc = 100 \cdot a + 10 \cdot b + c [/math]

[math]B = de = 10 \cdot d + e [/math]

Тогда сумма [math]A + B = abc + de = (100 \cdot a + 10 \cdot b + c) + (10 \cdot d + e) = 100 \cdot a + 10 \cdot (b + d) + (c + e) [/math]

Разность [math]A - B = abc - de = (100 \cdot a + 10 \cdot b + c) - (10 \cdot d + e) = 100 \cdot a + 10 \cdot (b - d) + (c - e) [/math]

Произведение [math]A \cdot B = abc \cdot de = (100 \cdot a + 10 \cdot b + c) \cdot (10 \cdot d + e) = 100 \cdot a \cdot 10 \cdot d + 10 \cdot b \cdot 10 \cdot d + c \cdot 10 \cdot d + 100 \cdot a \cdot e + 10 \cdot b \cdot e + c \cdot e = 1000 \cdot a \cdot d + 100 \cdot (a \cdot e + b \cdot d) + 10 \cdot (b \cdot e + c \cdot d) + c \cdot e[/math]

Сложение

Прибавляет к числу [math]a[/math] число [math]b[/math] и сохраняет результат в [math]a[/math] :

Алгоритм работает за [math]O(max(n, m))[/math], где [math]n, m[/math] — длины чисел [math]a[/math] и [math]b[/math].

Алгоритм не требует дополнительной памяти.

    function getSum(a: vector<int>, b: vector<int>)
        carry = 0
        i = 0
        while i < max(a.size(),b.size()) || carry
          if i == a.size()
            a.push_back(0)
          if i < b.size()
            a[i] += carry + b[i]
          else
            a[i] += carry
          carry = a[i] [math]\geqslant[/math] base
          if carry
            a[i] -= base
          i++

Вычитание

Отнимает от числа [math]a[/math] число [math]b\,(a \geqslant b)[/math] и сохраняет результат в [math] a[/math]:

Алгоритм работает за [math]O(max(n, m))[/math], где [math]n, m[/math] — длины чисел [math]a[/math] и [math]b[/math].

Алгоритм не требует дополнительной памяти.

    carry = 0
    i = 0
    while i < b.size() || carry
      if i < b.size()
        a[i] -= carry + b[i]
      else
        a[i] -= carry
      carry = a[i] < 0
      if carry
        a[i] += base
      i++
    while a.size() > 1 && a.back() == 0
      a.pop_back()
   //Здесь мы после выполнения вычитания удаляем лидирующие нули, чтобы поддерживать предикат о том, что таковые отсутствуют.

Умножение длинного на короткое

Умножает длинное [math]a[/math] на короткое [math]b\, (b \lt base)[/math] и сохраняет результат в [math]a[/math] :

Алгоритм работает за [math]O(n)[/math], где [math]n[/math] — длина длинного числа.

Алгоритм требует [math]O(n)[/math] памяти, где [math]n[/math] — длина длинного числа.

    carry = 0
    i = 0
    while i < a.size() || carry
      if i == a.size()
        a.push_back(0)
      cur = carry + a[i] [math]\cdot[/math] b;
      a[i] = cur mod base
      carry = cur / base
      i++

Умножение двух длинных чисел

Умножает [math]a[/math] на [math]b[/math] и результат сохраняет в [math]c[/math] :

Алгоритм работает за [math]O(n \cdot m)[/math], где [math]n, m[/math] — длины чисел [math]a[/math] и [math]b[/math].

Алгоритм требует [math]O(n \cdot m)[/math] памяти, где [math]n, m[/math] — длины чисел [math]a[/math] и [math]b[/math].

    carry = 0
    i = 0
    while i < a.size()
      j = 0
      while (j < b.size() || carry)
        if j < b.size()
          cur = c[i + j] + a[i] [math]\cdot[/math] b[j] + carry
        else
          cur = c[i + j] + carry
        c[i + j] = cur mod base
        carry = cur / base
        i++
      j++
    while c.size() > 1 && c.back() == 0
      c.pop_back()

Деление длинного на короткое

Делит длинное [math]a[/math] на короткое [math]b\, (b \lt base)[/math], частное сохраняет в [math]a[/math], остаток в [math]carry[/math] :

Алгоритм работает за [math]O(n)[/math], где [math]n[/math] — длина длинного числа.

Алгоритм не требует дополнительной памяти.

   carry = 0
   i = a.size() - 1
   while i [math]\geqslant[/math] 0
     cur = a[i] + carry [math]\cdot[/math] base
     a[i] = cur mod base
     carry = cur / base
     i--
   while a.size() > 1 && a.back() == 0
     a.pop_back()

См. также

• Системы счисления
• Разложение на множители (факторизация)

Источники информации

• e-maxx: Длинная арифметика