Формула полной вероятности

Формула полной вероятности позволяет вычислить вероятность интересующего события через условные вероятности этого события в предположении неких гипотез, а также вероятностей этих гипотез.

Формулировка

Вероятность события [math] A [/math], которое может произойти вместе с одним из событий [math]\{B_i\}_{i=1}^{n} [/math], равна сумме парных произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующие им условные вероятности наступления события [math] A [/math].

[math]{P}(A) = \sum\limits_{i=1}^{n} {P}( A \mid B_i) {P}(B_i)[/math]

Доказательство

События [math]\{B_i\}_{i=1}^{n} [/math] образуют полную группу событий, значит событие [math] A [/math] можно представить в виде следующей суммы:

[math] A = AB_{1} + AB_{2} + ... + AB_{n} = \sum\limits_{i=1}^{n} AB_{i} [/math]

События [math]\{B_i\}_{i=1}^{n} [/math] несовместны, значит и события [math] AB_{i} [/math] тоже несовместны. Тогда можно применить теорему о сложении вероятностей несовместных событий:

[math]{P}(A) = \sum\limits_{i=1}^{n} {P}( AB_i)[/math]

При этом

[math] {P}( AB_i) = {P} (B_i) {P} (A \mid B_i) [/math]

Окончательно получаем:

[math]{P}(A) = \sum\limits_{i=1}^{n} {P}( A \mid B_i) {P}(B_i)[/math]

Замечание

Формула полной вероятности также имеет следующую интерпретацию. Пусть [math]N[/math] — случайная величина, имеющая распределение

[math]{P}(N=n) = {P}(B_n)[/math].

Тогда

[math]{P}(A) = {E}\left[{P}(A\mid N)\right][/math],

т.е. априорная вероятность события равна среднему его апостериорной вероятности.

См. также

• Условная вероятность
• Формула Байеса

Источники

• http://ru.wikipedia.org/wiki/Формула_полной_вероятности