Поток минимальной стоимости

Определение задачи

Определение:

Дано число f_0 и транспортная сеть [math]\,G(V,E)[/math] с источником [math]s \in V[/math] и стоком [math]t \in V[/math], где ребра [math](u,v) \in E[/math] имеют пропускную способность [math]\,c(u,v)[/math], поток [math]\,f(u,v)[/math] и цену [math]\,p(u,v)[/math]. Суть задачи — найти поток f(u, v): [math]\sum_{u,v \in V} p(u,v) \cdot f(u,v) - min [/math]. [math]\sum_{u,v \in V} f(u,v) = f_0[/math]

Релевантные теоремы

• Теорема Форда-Фалкерсона о потоке минимальной стоимости
• Лемма об эквивалентности свойства потока быть минимальной стоимости и отсутствии отрицательных циклов в остаточной сети

Алгоритмы решения

• Найти любой поток величины [math]f_0[/math], после чего избавиться от всех циклов отрицательной стоимости в остаточном графе. Чтобы избавиться от цикла, надо пустить по нему максимально возможный поток.
• Поиск потока минимальной стоимости методом дополнения вдоль путей минимальной стоимости.
• Использование потенциалов Джонсона при поиске потока минимальной стоимости (модификация предыдущего алгоритма).

Задача о назначениях

Популярная задача, которая легко сводится к потоку минимальной стоимости - задача о назначениях.