Обсуждение:Числа Белла

1. Формула с биномиальными коэффициентами

Числа Белла удовлетворяют рекуррентному соотношению c участием биномиальных коэффициентов:

[math]B_{n+1}=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} B_k.[/math]

Доказательство

Докажем, что [math]B_{n+1}=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} B_{n-k}.[/math] По определению [math]B_{n}\ { — }\ [/math]число всех неупорядоченных подмножеств [math]n[/math]-элементного множества. Посчитаем количество неупорядоченных подмножеств для [math](n+1)[/math]-элементного множества множества: Пусть [math]x_1 \cup... \cup x_k\ { — }\ [/math]подмножества множества [math][1...n+1][/math]. Пусть [math]n+1\in x_k[/math], тогда [math]x_1 \cup... \cup x_{k-1}\ { — }\ [/math]подмножество множества [math][1...n+1][/math] \ [math]x_k[/math]. Пусть [math]|x_k|=i+1[/math], где [math]i\in [0;n][/math], тогда [math]x_k[/math] можно выбрать [math]\binom{n}{i}[/math] способами, а оставшиеся элементы разбить [math]B_{n-i}[/math] способами. [math]B_{n+1}=\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} B_{n-k}=[/math] [math]\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{n-k} B_{k}=[/math] [math]\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} B_k[/math].

2. Формула с числами Стирлинга второго рода

Другая формула суммирования представляет каждое число Белла как сумму чисел Стирлинга второго рода:

[math]B_n=\sum_{k=0}^n \left\{{n\atop k}\right\}[/math],

где число Стирлинга [math]\left\{{n\atop k}\right\}[/math] является количеством способов разбиения набора элементов [math]n[/math] в ровно [math]k[/math] непустых подмножеств.

Доказательство

Посчитаем количество подмножеств [math]n[/math]-элементного множества. Нам нужно разбить [math]n[/math]-элементное множество на [math]k[/math] непустых подмножеств, где [math]k[/math] от [math]1[/math] до [math]n[/math]. Пусть [math]C\ { — }\ [/math]все подмножества [math]n[/math]-элементного множества. Пусть [math]A_k\ { — }\ [/math]разбиение [math]n[/math]-элементного множества на [math]k[/math] непустых подмножеств, тогда [math] C = \bigcup \limits_{k=1}^{n}A_k[/math]. [math]|A_k|=\left\{{n\atop k}\right\}\ { — }\ [/math]по определению, тогда [math]B_n=|C|=\sum_{k=1}^{n} \ |A_k|=\sum_{k=1}^n \left\{{n\atop k}\right\}=\sum_{k=0}^n \left\{{n\atop k}\right\}[/math], т.к. [math]\left\{{n\atop 0}\right\}=0[/math].

3. Формула объединяющая эти два суммирования

Майкл Спайви получил формулу, которая объединяет оба эти суммирования:

[math]B_{n+m} = \sum_{k=0}^n \sum_{j=0}^m \left\{{m\atop j}\right\} {n \choose k} j^{n-k} B_k.[/math]

Лемма

[math]B_{n+m}\ { — }\ [/math]количество способов разбить [math](n+m)[/math]-элементное множество на подмножества. Количество способов разбить [math]m[/math]-элементное множество на [math]j[/math] непустых подмножеств это [math]\left\{{m\atop j}\right\}[/math], где [math]j[/math] меняется от [math]1[/math] до [math]m[/math]. Из оставшихся [math]n[/math] объектов выберем [math]k[/math], для разделения их на новые подмножества, а оставшиеся [math]n-k[/math] объектов распределим между [math]j[/math] подмножествами, сформированных из [math]m[/math]-элементного множества. [math]B_{k}\ { — }\ [/math]количество разбиений [math]k[/math]-элементного множества на подмножества и [math]j^{n-k}[/math] способов разбить [math]n-k[/math] элементов между [math]j[/math] подмножествами. Значит [math]j^{n-k} \left\{{n\atop k}\right\}\binom{n}{k} B_{k}[/math] способов разбить [math]m[/math] элементов на [math]j[/math] подмножеств и выбрать [math]k[/math] элементов из [math]n[/math]-элементного множества и выбрать [math]k[/math] элементов из [math]n [/math]-элементного множества и сформировать из них новые подмножества, а из оставшихся [math]n-k[/math] объектов разделить между [math]j[/math] множествами, сформированных из [math]m[/math]-элементного множества.

Доказательство

Суммируя разбиения, рассмотренные в лемме, меняя [math]m[/math] и [math]k[/math], получаем:

[math]B_{n+m}=\sum_{k=0}^n \sum_{j=1}^m [/math][math]\left\{{m\atop j}\right\}j^{n-k} \binom{n}{k} B_{k}=[/math][math]B_{n+m}=\sum_{k=0}^n \sum_{j=0}^m [/math][math]\left\{{m\atop j}\right\}j^{n-k} \binom{n}{k} B_{k}[/math] т.к. [math]\left\{{m\atop 0}\right\}=0[/math].