Красно-чёрное дерево (удалить)

Красно - чёрное дерево - самобалансирующееся двоичное дерево поиска, в котором баланс осуществляется на основе "цвета" узла дерева, который принимает только два значения: "красный" и "чёрный". При этом дерево должно удовлетворять следующим свойствам:

1. Все листья дерева чёрные.
2. Все сыновья красного узла чёрные.
3. На каждой ветви дерева, идущей от корня к листу, число чёрных узлов одно и то же.

При этом все листья дерева являются фиктивными и не содержат данных. Число чёрных узлов между корнем и узлом называется чёрной высотой дерева.

Свойства

1. Число листьев в дереве с чёрной высотой h не менее, чем [math]2^{h-1}[/math].

Докажем по индукции. При h = 1 получаем дерево, в котором чёрными являются только листья, а их больше одного. Иначе пусть корень - чёрный, тогда оба его поддерева имеют чёрную высоту h-1 и, следовательно, не менее, чем [math]2^{h-2}[/math] элементов. Тогда всё дерево имеет более [math]2^{h-1}[/math] элементов. В случае, если корень красный, то оба его поддерева имеют чёрные корни и чёрную высоту h, то есть, как только что было показано, не менее [math]2^{h-1}[/math] элементов. Таким образом, дерево будет иметь более [math]2^{h}[/math] элементов.