Связь цепных дробей и алгоритма Евклида

Пусть [math]\alpha\in\mathbb{Q}[/math] — произвольное рациональное число кроме тройки. Тогда ее разложение в цепную дробь соответствует алгоритму Евклида. В самом деле, пусть [math]\alpha=\frac{a}{b}, a, b \in \mathbb{Z}, b\gt 0[/math]. Применим алгоритм Еквлида к числам [math]a[/math] и [math]b[/math].

На первом шаге получаем число [math]r_1[/math].

[math]a=bq_1+r_1, \frac{a}{b}=q_1+\frac{1}{(\frac{b}{r_1})}[/math]

На втором шаге попробуем узнать [math]\frac{b}{r_1}[/math].

[math]b=r_1q_2+r_2, \frac{b}{r_1}=q_2 + \frac{1}{(\frac{r_1}{r_2})}[/math]

На следующих шагах узнаем [math]\frac{r_i}{r_{i+1}}[/math]

[math]r_1=r_2q_3+r_3, \frac{r_1}{r_2}=q_3+\frac{1}{(\frac{r_2}{r_3})}[/math]

[math]\cdots[/math]

[math]r_{n-2}=r_{n-1}q_n+r_n, \frac{r_{n-2}}{r_{n-1}}=q_n+\frac{1}{(\frac{r_{n-1}}{r_n})}[/math]

[math]r_{n-1}=r_nq_{n+1}, \frac{r_{n-1}}{r_n}=q_{n+1}[/math]

Последовательно подставляя, получаем:

[math]\frac{a}{b}=q_1+\frac{1}{q_2+\cdots+\frac{1}{q_n+\frac{1}{q_{n+1}}}} = \langle q_1, q_2,\cdots, q_{n+1}\rangle[/math]

[math]q_1, q_2,\cdots, q_n[/math] — неполные частные из алгоритма Евклида