Участник:Wasteed

Определение:

Пусть [math]L[/math] — некоторый регулярный язык, [math]a_n = |L \cap \Sigma^n|[/math] — количество слов длины [math]n[/math] в языке [math]L[/math]. Тогда [math]L(t) = a_0 + a_1t + a_2t^2 + ... [/math] — это производящая функция для регулярного языка [math]L[/math] (англ. generating function of a regular language).

Теорема ((Производящая функция регулярного языка)):

Пусть [math]L[/math] — регулярный язык над алфавитом [math]\Sigma[/math], распознающийся детерминированным конечным автоматом [math]A[/math], [math]Q[/math] — множество состояний [math]A, |Q| = n, s \in Q[/math] — стартовое состояние, [math]T \subset Q[/math] — множество терминальных состояний. Рассмотрим такие вектора длины [math]n[/math]: [math]u = (0, 0,...1, 0,...0)[/math], содержащий единственную единицу на позиции [math]s[/math] и [math]v = (1, 0,...1, 0,...1)^T[/math], у которого единицы стоят на позициях, соответствующих номерам состояний множества [math]T[/math]. Матрица переходов автомата [math]A[/math]: [math]D = (d_{ij})[/math], где [math]d_{ij}[/math] — количество символов, которые переводят автомат из состояния [math]i[/math] в состояние [math]j[/math]. Тогда утверждается, что [math]L(t) = \vec{u} (I - tD)^{-1}\vec{v}[/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

доказательство (необязательно)

[math]\triangleleft[/math]