Связь матрицы Кирхгофа и матрицы инцидентности

НЕТ ВОЙНЕ

24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян. Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием. Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей. Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить. Антивоенный комитет России

Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.

meduza.io, Популярная политика, Новая газета, zona.media, Майкл Наки.

Определение:

Пусть [math]G[/math] — произвольный граф. Превратим каждое его ребро в дугу, придав ребру одно из двух возможных направлений. Полученный орграф на том же самом множестве вершин будем называть ориентацией графа [math]G[/math].

Лемма:

Пусть [math]K[/math] — матрица Кирхгофа графа [math]G[/math], [math]I[/math] — матрица инцидентности [math]G[/math] с некоторой ориентацией. Тогда [math]K = I \cdot I^T.[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

При умножении [math]i[/math]-й строки исходной матрицы [math]I[/math] на [math]j[/math]-й столбец транспонированной матрицы [math]I^T [/math] перемножаются [math]i[/math]-я и [math]j[/math]-я строки исходной матрицы. При умножении [math]i[/math]-й строки на саму себя на диагонали полученной матрицы получится сумма квадратов элементов [math]i[/math]-й строки, которая равна, очевидно, [math]\deg(v_i)[/math]. Пусть теперь [math]i \ne j[/math]. Если [math] (v_i, v_j) \in E [/math], то существует ровно одно ребро, соединяющее [math] v_i [/math] и [math] v_j [/math], следовательно результат перемножения [math]i[/math]-й и [math]j[/math]-й строк равен [math]-1[/math], в противном случае он равен [math]0[/math] в силу отсутствия ребра, инцидентного обеим вершинам. Определенная данными условиями матрица и является матрицей Кирхгофа.

[math]\triangleleft[/math]

Граф	Матрица Кирхгофа	Матрица инцидентности
	[math]\left(\begin{array}{rrrrrr} 2 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0\\ -1 & 3 & -1 & 0 & -1 & 0\\ 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 3 & -1 & -1\\ -1 & -1 & 0 & -1 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1\\ \end{array}\right)[/math]	[math]\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}[/math]

См. также

• Матрица Кирхгофа
• Подсчет числа остовных деревьев с помощью матрицы Кирхгофа
• Количество помеченных деревьев
• Коды Прюфера

Источники информации

• Асанов М., Баранский В., Расин В. — Дискретная математика: Графы, матроиды, алгоритмы — Ижевск: ННЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001, 288 стр.