Теоретический минимум по функциональному анализу за 5 семестр

НЕТ ВОЙНЕ

24 февраля 2022 года российское руководство во главе с Владимиром Путиным развязало агрессивную войну против Украины. В глазах всего мира это военное преступление совершено от лица всей страны, всех россиян. Будучи гражданами Российской Федерации, мы против своей воли оказались ответственными за нарушение международного права, военное вторжение и массовую гибель людей. Чудовищность совершенного преступления не оставляет возможности промолчать или ограничиться пассивным несогласием. Мы убеждены в абсолютной ценности человеческой жизни, в незыблемости прав и свобод личности. Режим Путина — угроза этим ценностям. Наша задача — обьединить все силы для сопротивления ей. Эту войну начали не россияне, а обезумевший диктатор. И наш гражданский долг — сделать всё, чтобы её остановить. Антивоенный комитет России

Распространяйте правду о текущих событиях, оберегайте от пропаганды своих друзей и близких. Изменение общественного восприятия войны - ключ к её завершению.

meduza.io, Популярная политика, Новая газета, zona.media, Майкл Наки.

1 Определение МП, замыкание в МП.

Определение:

Для некоторого множества [math]X[/math], отображение [math] \rho : X \times X \to \mathbb{R^+} [/math] — называется метрикой на [math]X[/math], если выполняются аксиомы [math] \rho (x, y) \ge 0 ;\ \rho (x, y) = 0 \iff x = y [/math] [math] \rho (x, y) = \rho (y, x) [/math] [math] \rho (x, y) \le \rho (x, z) + \rho (z, y) [/math] — неравенство треугольника Пару [math](X, \rho)[/math] называют метрическим пространством.

Определение:

Замыканием (closure) множества [math]A[/math] называется множество [math]\mathrm{Cl} A = \bigcap\limits_{A \subset F } F[/math], где [math] F [/math] — замкнутые множества.

2 Принцип вложенных шаров в полном МП.

Утверждение (принцип вложенных шаров):

Пусть [math](X, \rho)[/math] — полное. [math]\overline V_n[/math] — замкнутые шары. [math]\overline V_{n + 1} \subset \overline V_n[/math], [math]r_n \to 0[/math]. Тогда [math]\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} \overline V_n \ne \varnothing[/math], и состоит из одной точки.

3 Теорема Бэра о категориях.

Определение:

Подмножество [math]A[/math] топологического пространства [math]X[/math] имеет I категорию по Бэру в пространстве [math]X[/math], если оно является не более чем счетным объединением нигде не плотных в [math]X[/math] множеств. В противном случае оно имеет II категорию по Бэру.

Теорема (Бэр):

Полное МП является множеством II категории в себе.

4 Критерий компактности Хаусдорфа в МП.

Теорема (Хаусдорф):

Пусть [math]X[/math] — полное метрическое пространство, [math]K \subset X[/math], [math]K[/math] — замкнуто. Тогда [math]K[/math] — компакт [math]\iff[/math] [math]K[/math] — вполне ограниченно.

5 Пространство [math]R^{\infty}[/math] : метрика, покоординатная сходимость.

• [math]X = \mathbb{R}^{\infty}[/math]. Превращение в МП должно быть связано с желаемой операцией предельного перехода. В случае конечномерного пространства сходимость совпадает с покоординатной сходимостью, хотим того же самого для бесконечномерного. Введем метрику: [math]\rho(\overline x, \overline y) = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} {1 \over 2^n}{|x_n - y_n| \over 1 + |x_n - y_n|}[/math] (стандартный способ превратить в метрическое пространство счетное произведение метрических пространств, коим и является [math]R^{\infty}[/math]). Проверим, что эта метрика удовлетворяет аксиомам:
  • этот ряд всегда сходящийся, так как мажорируется убывающей геометрической прогрессией [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over 2^n} = 1[/math], соответственно, расстояние ограничено единицей.
  • первая аксиома: неотрицательность очевидна, равенство метрики нулю в обе стороны очевидно
  • вторая аксиома: еще очевиднее
  • третья аксиома легко вытекает из следующего утверждения:

Утверждение:

[math] {|x - z| \over 1 + |x - z|} \le {|x - y| \over 1 + |x - y|} + {|y - z| \over 1 + |y - z|}[/math]

Утверждение:

Сходимость в метрике [math] \mathbb{R}^{\infty} [/math] эквивалентна покоординатной.

6 Норма в линейном множестве, определение предела по норме, арифметика предела.

Определение:

Функция [math]\| \cdot \|: L \to \mathbb{R}[/math] называется нормой в пространстве [math]L[/math], если для нее выполняется: [math]\forall x \in L: \| x \| \ge 0[/math], [math]\| x \| = 0 \iff x = \mathrm{0}[/math] [math]\forall \alpha \in \mathbb{R}\ \forall x \in L: \| \alpha x \| = |\alpha |\| x \|[/math] [math]\forall x, y \in L: \| x + y \| \le \| x \| + \| y \|[/math] Пространство с введенной на нем нормой называют нормированным пространством.

В нормированных пространствах определение предела записывается аналогично пределу вещественной последовательности, отличаясь лишь заменой знака модуля на знак нормы.

Например, если [math]E \subset X[/math], [math]a[/math] — предельная точка множества [math]E[/math], [math]f \colon E \to Y[/math] (где [math]X[/math] и [math]Y[/math] — нормированные пространства), то [math]A[/math] называется пределом функции [math]f[/math] при [math]x \to a[/math] и обозначается [math]\lim\limits_{x \to a} f(x)[/math], если для любого положительного [math]\varepsilon[/math] найдётся [math]\delta \gt 0[/math], для которого выполняется следствие [math]0 \lt \|x - a\| \lt \delta \implies \|f(x) - A\| \lt \varepsilon[/math].

Специфика нормированных пространств — структура линейного пространства на рассматриваемом множестве. То есть, точки пространства можно складывать и умножать на числа, и эти операции будут непрерывными по норме пространства.

Утверждение:

Пусть [math]x_n[/math], [math]y_n[/math] — последовательности точек нормированного пространства [math](X, \|\cdot\|)[/math], а [math]\alpha_n[/math] — вещественная последовательность. Известно, что [math]x_n \to x[/math], [math]y_n \to y[/math], [math]\alpha_n \to \alpha[/math]. Тогда: [math]x_n + y_n \to x + y[/math] [math]\alpha_n x_n \to \alpha x[/math] [math]\|x_n\| \to \|x\|[/math]

7 Эквивалентность норм в конечномерном НП.

Определение:

Нормы [math]\| \|_1[/math], [math]\| \|_2[/math] эквивалентны, если существуют константы [math]m, M \gt 0[/math] такие, что [math]\forall x: m\|x\|_2 \le \|x\|_1 \le M \|x\|_2[/math]. Очевидно, что отношение эквивалентности норм является отношением эквивалентности (то есть выполняется рефлексивность, симметриченость и транзитивность).

Это определение равносильно тому, что сходимость последовательностей в них равносильна: [math]x_n \xrightarrow[]{\|\|_1} x \iff x_n \xrightarrow[]{\|\|_2} x[/math].

Определение:

Пространство [math] X [/math] конечномерно, если [math] \exists n = dim X \lt \infty: \exists e_1, e_2, \ldots, e_n: X = \mathcal L(e_1, \ldots, e_n)[/math].

Теорема (Рисс):

В конечномерных пространствах любые две нормы эквивалентны.

8 Замкнутость конечномерного линейного подмножества НП.

Определение:

Подпространство в алгебраическом смысле не обязательно замкнуто в исходном пространстве. Поэтому в функциональном анализе собственно подпространством называется именно замкнутое подпространство, а алгебраические подпространства называют линейными подмножествами.

Теорема:

Пусть [math]X[/math] — НП и [math]Y[/math] — линейное конечномерное подмножество в [math]X[/math], тогда [math]Y[/math] — замкнуто в [math]X[/math], т.е. [math]\mathrm{Cl} Y = Y[/math].

9 Лемма Рисса о почти перпендикуляре, пример ее применения.

Лемма (Рисc, о почти перпендикуляре):

Пусть [math]X[/math] — НП, а [math]Y[/math] — собственное (то есть не совпадающее с [math]X[/math]) подпространство [math]X[/math], тогда [math]\forall \varepsilon \in (0, 1) \; \exists z_{\varepsilon} \in X : \|z_{\varepsilon}\| = 1,\; \rho(z_{\varepsilon}, Y) \geq 1 - \varepsilon[/math] (где [math]\rho(z, Y) = \inf\limits_{y \in Y} \|z-y\|[/math])

Теорема (некомпактность шара в бесконечномерном пространстве):

Если [math]X[/math] — бесконечномерное НП, то единичный шар [math]S_1 = \{ x \in X \mid \|x \| = 1\}[/math] в нем не компактен.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Возьмем [math]x \in S_1[/math], [math]Y_1 = \mathcal{L}(x_1)[/math] — собственное подпространство [math]X[/math], применим лемму Рисса, возьмем [math]\varepsilon = {1 \over 2}[/math], существует [math]x_2: \| x_2 \| = 1, \| x_2 - x_1 \| \ge {1 \over 2}[/math], заметим, что [math]x_2[/math] окажется в [math]S_1[/math]. [math]Y_2 = \mathcal{L}(x_1, x_2)[/math], опять применим лемму Рисса, существует [math]x_3 \in X: \| x_3 - x_j \| \ge {1 \over 2}, j = 1, 2[/math], [math]x_3[/math] будет в [math]S_1[/math]. Продолжаем так же для [math]Y_3 \dots Y_n \dots[/math]. Процесс никогда не завершится, так как [math]X[/math] — бесконечномерное и не может быть линейной оболочкой конечного числа векторов. Таким образом построили бесконечную систему точек в [math]S_1[/math], но из которой нельзя выделить сходящуюся подпоследовательность, так как [math]\| x_n - x_m \| \ge {1 \over 2}[/math], следовательно, [math]S_1[/math] не компактно.

[math]\triangleleft[/math]

10 Банаховы пространства на примерах [math]C [0,1][/math] и [math]L_p(E)[/math].

[math]C[a,b][/math] - семейство функций [math]f[/math], непрерывных на [a,b] с равномерной сходимостью является Банаховым пространством.

[math]L_p(E)[/math] = {сем-во функций f - изм. на E | integral( |f|^p ) < +infinity} - тоже Банахово пр-во док-во, видимо, было как упражнение

11 Определение скалярного произведения, равенство параллелограмма, неравенство Шварца.

Пусть [math]H[/math] — линейное пространство. Величина [math](x, y) \in \mathbb R[/math] называется скалярным произведением точек множества [math]H[/math], если она удовлетворяет следующим трём аксиомам:

1. [math](x, x) \ge 0[/math], [math](x, x) = 0 \iff x = 0[/math]
2. [math](x, y) = (y, x)[/math]
3. [math](\alpha x + \beta y, z) = \alpha(x, z) + \beta(y, z)[/math]

Основное значение для скалярного произведения имеет неравенство Шварца:

Утверждение:

[math]|(x, y)| \le \sqrt{(x, x)}\sqrt{(y, y)}[/math]

//не нашёл этого в конспектах, беру с википедии

Характеристическим свойством, выделяющим гильбертовы пространства [math]H[/math] среди прочих банаховых пространств, является равенство параллелограмма: [math]\forall x,y\in H\ \quad \|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2(\|x\|^2+\|y\|^2)[/math]

12 Наилучшее приближение в НП в случае конечномерного подпространства.

Пусть [math]X[/math] — нормированное пространство, к примеру, [math]L_p[/math]. Пусть [math]Y[/math] — линейное множество в [math]X[/math], например, [math]H_n[/math] (тригонометрических полиномов степени не больше [math]n[/math]).

Определение:

Для любого [math] x \in X[/math] величина [math]E_Y(x) = \inf\limits_{y \in Y}{\|x-y\|}[/math] называется наилучшим приближением точки [math]x[/math] элементами линейного множества [math]Y[/math]. Если при этом существует [math]y^* \in Y[/math] такой, что [math]E_Y(x)=\|x-y^*\|[/math], то этот [math]y^*[/math] называется элементом наилучшего приближения точки [math]x[/math].

Теорема:

Пусть [math]X[/math] — нормированное пространство, [math]\dim Y \lt +\infty[/math], тогда [math]\forall x \in X[/math] существует элемент наилучшего приближения [math]x[/math].

13 Наилучшее приближение в унитарном пространстве, неравенство Бесселя.

Утверждение:

Пусть [math]x\in\mathcal{H}[/math], [math]\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle e_j[/math] (причем он может быть расходящимся), [math]s_n(x) = \sum\limits_{j=1}^n \langle x, e_j\rangle e_j[/math] тогда: [math]\|x-s_n(x)\|^2 = \inf \|x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_ke_k\|^2[/math], [math]\alpha_k \in \mathbb{R}[/math]

Теорема (Бессель, неравенство Бесселя):

[math] \sum \limits_{k=1}^{\infty} (x, e_k)^2 \le \|x\|^2[/math], где [math]e_1 \dots e_n \dots \in H [/math] — ортонормированная система точек

14 Определение Гильбертова пространства, сепарабельность и полнота.

Определение:

Гильбертовым пространством называют Банахово пространство, в котором норма порождена скалярным произведением.

Определение:

Гильбертово пространство сепарабельно тогда и только тогда, когда в нём существует счётный ортонормированный базис.

TODO: взято от сюда:http://www.nsu.ru/education/funcan/node89.html проверить на правду

Теорема (критерий полноты ортонормированной системы в сепарабельном гильбертовом пространстве):

Пусть [math]H[/math] — сепарабельное гильбертово пространство и [math]\{e_1, e_2, \ldots, e_n, \ldots\}[/math] — ортонормированная система векторов в нем. Тогда следующие условия эквивалентны: система [math]\{e_1, e_2, \ldots, e_n, \ldots\}[/math] полна система [math]\{e_1, e_2, \ldots, e_n, \ldots\}[/math] замкнута [math]\forall x \in H [/math] справедливо разложение [math]x = \sum\limits_{n = 1}^\infty \lambda_n e_n[/math], где [math]\lambda_n = (x, e_n)[/math] — коэффициенты Фурье вектора [math]x[/math] относительно ортонормированной системы [math]\{e_1, e_2, \ldots, e_n, \ldots\}[/math]

15 Теорема Рисса-Фишера, равенство Парсеваля.

Теорема (равенство Парсеваля):

[math]\forall x: \|x\|^2 = \sum\limits_{k=1}^{\infty} \langle x, e_k \rangle ^2 [/math] тогда и только тогда, когда ортонормированная система точек, по которым строятся коэффициенты Фурье, полная или замкнутая.

Теорема (Рисс-Фишер):

Пусть [math]\{e_1, e_2, \ldots, e_n, \ldots\}[/math] — ортонормированная система в гильбертовом пространстве [math]H[/math], [math]\sum\limits_{i=1}^{\infty} \alpha_i^2 \lt +\infty[/math]. Тогда [math]\exists ! x \in H : \alpha_i = \langle x, e_i \rangle[/math] и выполняется равенство Парсеваля: [math]\sum\limits_{i=1}^{\infty} \alpha_i^2 = \|x\|^2[/math]

16 Наилучшее приближение в [math]H[/math] для случая выпуклого,замкнутого множества, [math]H = H_1 \oplus H_2[/math].

Теорема:

Пусть [math]M[/math] — выпуклое замкнутое множество в [math]H[/math], тогда [math]\forall x \in H\ \exists z \in M: \| x - z \| = \inf\limits_{y \in M} \| x - y\|[/math]. [math]z[/math] называется элементом наилучшего приближения

Определение:

Говорят, что два элемента [math] x, y [/math] гильбертова пространства [math] H [/math] перпендикулярны ([math] x \perp y [/math]), если [math] \langle x, y \rangle = 0. [/math]

Определение:

Пусть [math]H_1[/math] — подпространство в [math]H[/math], тогда ортогональным дополнением называется [math]H_2 = H_1^{\perp} = \{ x \in H \mid \forall y \in H_1: x \perp y\}[/math].

17 Разложение гильбертова пространства в прямую сумму подпространств.

Теорема:

Пусть [math] H_1 [/math] — подпространство в [math]H[/math], [math] H_2 [/math] — его ортогональное дополнение. Тогда для любого [math] x \in H [/math] существует единственное представление [math] x = x_1 + x_2 [/math], где [math] x_1 \in H_1, x_2 \in H_2 [/math] и [math] x_1 \perp x_2 [/math].

18 Счетно-нормированные пространства, метризуемость.

Определение:

Пусть [math]X[/math] — линейное пространство, [math]p_1 \dots p_n \dots[/math] — полунормы. Если [math]\forall x \in X[/math] из того, что [math]\forall k: p_k(x) = 0[/math] следует, что [math]x = 0[/math], то [math]X[/math] называют счетно-нормированным пространством

Утверждение:

Счетно-нормированные пространства можно метризовать как [math]\mathbb{R}^{\infty}[/math]: [math]\rho(x, y) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} {1 \over 2^n} {p_n(x - y) \over 1 + p_n(x - y)}[/math].

19 Условие нормируемости СНТП.

<wikitex>

Определение:

Полунорма $p_n$ в системе $p$ существенна, если она не мажорируется ни одной из полунорм этой системы с меньшими чем $n$ номерами.

Теорема (критерий нормируемости счетно-нормированного пространства):

Пусть $X$ — счетное-нормированное пространство по монотонной системе полунорм $p$. Оно нормируется тогда и только тогда, когда в системе $p$ конечное число существенных полунорм.

</wikitex>

20 Функционал Минковского.

<wikitex>

Определение:

$A$ поглощает $B$, если $\exists \lambda_0 > 0: \forall \lambda:

Определение:

$A$ радиальное/поглощающее, если оно поглощает любую конечную систему точек. Для проверки радиальности достаточно проверить поглощение каждой конкретной точки.

Определение:

Пусть $X$ — линейное пространство, $\mu$ — радиальное подмножество, тогда функционал Минковского $p_{\mu}$ определяется как $p_{\mu}(x) = \inf \{ \lambda > 0 \mid x \in \lambda \mu\}$.

</wikitex>

21 Топология векторных пространств.

Определение:

Топологическое векторное пространство — линейное пространство, наделенной такой топологией, что операции сложения векторов и умножения на скаляр в ней непрерывны в этой топологии, то есть: непрерывность умножения на скаляр: $\alpha x \to \alpha_0 x_0$, если $\alpha \to \alpha_0$, $x \to x_0$. Означает, что для любой окрестности $U(\alpha_0 x_0)$ существует $ \varepsilon > 0$ и существует [math] U(x_0): | \alpha - \alpha_0 | \lt \varepsilon, x \in U(x_0) \implies \alpha x \in U(\alpha_0 x_0) [/math] непрерывность сложения векторов: $x + y \to x_0 + y_0$, если $x \to x_0$, $y \to y_0$. Означает, что для любой окрестности $U(x_0 + y_0)$ существуют окрестности $U(x_0), U(y_0): \forall x \in U(x_0) \forall y \in U(y_0) \implies x + y \in U(x_0 + y_0)$.

22 Теорема Колмогорова о нормируемости ТВП.

Теорема (Колмогоров):

Хаусдорфово ТВП нормируемо тогда и только тогда, когда у нуля есть ограниченная выпуклая окрестность.

23 Коразмерность ядра линейного функционала.

Определение:

Пусть [math]X[/math] ­— линейное множество. Отображение [math] f\colon X \to \mathbb{R} [/math] — линейный функционал, если [math]\forall \alpha, \beta \in \mathbb{R} \ \forall x, y \in X : f(\alpha x + \beta y) = \alpha f(x) + \beta f(y)[/math]. Обозначим [math]X^*[/math] — совокупность линейных функционалов, определенных на множестве [math]X[/math]. [math] \mathrm{Ker}\, f = \{x \mid f(x) = 0 \} [/math] — ядро функционала.

Определение:

Пусть [math]X[/math] ­— линейное множество, [math]Y[/math] линейное подмножество [math]X[/math]. Введем отношение эквивалентности на [math]X[/math]: [math] x_1 \sim x_2 \stackrel{\mathrm{def}}{\iff} x_1 - x_2 \in Y [/math] [math] [x] = \{ y \in X \mid y \sim x \} [/math] — классы смежности по [math]Y[/math]. [math] X /_Y [/math] — совокупность всех классов смежности — фактор-множество по [math]Y[/math].

Определение:

[math]\mathrm{Codim}\, Y \stackrel{\mathrm{def}}{=} \dim X /_Y [/math] — коразмерность [math]Y[/math]. [math] Y [/math] — гиперплоскость в [math]X[/math], если [math]\mathrm{Codim}\, Y = 1[/math].

Утверждение (Коразмерность ядра функционала):

Если [math] f [/math] не является тождественно равным нулю, то [math]\mathrm{Codim}\, \mathrm{Ker}\, f = 1 [/math].

24 Непрерывный линейный функционал и его норма.

Определение:

Пусть [math]X[/math] ­— нормированное пространство. Линейный функционал [math] f \in X^* [/math] — непрерывен в точке [math] x [/math], если [math]x_n \to x \implies f(x_n) \to f(x) [/math].

Обозначение [math] \overline{V}_1 = \{ x : \| x \| \leq 1 \} [/math]

Введем норму в [math] X^* [/math]: [math] \| f \| \stackrel{\mathrm{def}}{=} \sup\limits_{\overline{V}_1} {| f(x) |} [/math]

Утверждение:

Линейный функционал [math]f[/math] непрерывен [math] \iff [/math] [math]f[/math] непрерывен в нуле.

25 Связь между непрерывностью линейного функционала и замкнутостью его ядра.

Определение:

[math] f [/math] ­— ограниченный функционал, если [math] \| f \| \lt \infty [/math].

Утверждение:

[math]f[/math] — непрерывен [math] \iff [/math] [math]f[/math] ­— ограничен.

Теорема (характеристика ограниченного функционала в терминах ядра):

[math]f[/math] — ограничен [math]\iff \mathrm{Ker}\, f[/math] — замкнуто в [math]X[/math].

26 Продолжение по непрерывности линейного функционала со всюду плотного линейного подмножества НП.

Утверждение:

Пусть [math] Y [/math] — линейное всюду плотное в [math] X [/math] множество. [math] f [/math] — линейный непрерывный функционал на [math] Y [/math]. Тогда существует единственный [math] \widetilde f [/math] — линейный непрерывный функционал на [math] X [/math] такой, что: 1) [math] \widetilde f |_Y = f [/math] — сужение на [math] Y [/math] совпадает с [math] f [/math]. 2) [math] \| \widetilde f \|_X = \| f \|_Y [/math]

27 Теорема Хана-Банаха для НП (сепарабельный случай).

Теорема (Хан, Банах):

Пусть [math]X[/math] — сепарабельное нормированное пространство, [math]Y[/math] — линейное подмножество [math]X[/math], [math]f: Y \to \mathbb R[/math] — линейный ограниченный функционал. Тогда существует линейный ограниченный функционал [math]g: X \to \mathbb R[/math] такой, что [math]g|_Y = f[/math], [math]\|g\| = \|f\|[/math].

Два следствия из теоремы Хана-Банаха.

Утверждение:

Пусть [math]X[/math] — нормированное пространство. Тогда [math]\forall x \in X \exists f: X \to R:\ f(x) = \|x\|, \|f\| = 1[/math].

Утверждение:

Пусть [math]X[/math] — нормированное пространство, [math]e_1, e_2, \ldots, e_n[/math] — линейно независимый набор в [math]X[/math]. Тогда в [math]X[/math] существует биортогональная система функционалов [math]f_1, f_2, \ldots f_n, f_i(e_j) = \delta_{ij}[/math]

28 Теорема Рисса об общем виде линейного непрерывного функционала в [math]H[/math].

Теорема (Рисс, об общем виде линейного непрерывного функционала в гильбертовом пространстве):

[math]\forall f \in H^*\; \exists ! y \in H : f(x) = \langle x, y \rangle[/math], причем [math]\|f\| = \|y\|[/math]

29 Непрерывный линейный оператор и его норма.

Определение:

Оператор [math]A[/math] называется линейным, если [math]A(\alpha x_1 + \beta x_2) = \alpha A(x_1) + \beta A(x_2)[/math].

Определение:

Оператор [math]A[/math] непрерывен в точке [math]x_0[/math], если [math]\lim\limits_{x \to x_0} Ax = Ax_0[/math].

Определение:

Нормой оператора [math]A[/math] называется [math]\|A\| = \sup\limits_{\|x\| \le 1} \| Ax \|[/math].

Определение:

Оператор [math]A[/math] ограничен, если [math]\|A\| \le \infty[/math].

Теорема:

Линейный оператор непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен.

30 Продолжение линейного оператора по непрерывности.

Теорема:

Пусть [math]Y[/math] — линейное пространство, [math]Cl Y = X[/math], [math]A: Y \to Z[/math] — линейный ограниченный оператор, [math]Z[/math] — банахово. Тогда [math]\exists! B: X \to Z[/math]: [math]B|_Y = A[/math] [math]\|B\| = \|A\|[/math]

31 Полнота пространства [math]L(X,Y)[/math].

Обычно пространство линейных ограниченных операторов из [math]X[/math] в [math]Y[/math] обозначают как [math]L(X, Y)[/math].

Теорема:

Пусть [math]Y[/math] — банахово, тогда [math]L(X, Y)[/math] тоже банахово.

32 Теорема Банаха-Штейнгауза.

Определение:

Последовательность [math]A_n[/math] поточечно ограничена, если [math]\forall x \in X \sup\limits_{n \in \mathbb N} \|A_n x\| \lt +\infty[/math].

Определение:

Последовательность [math]A_n[/math] равномерно ограничена, если [math]\sup\limits_{n \in \mathbb N} \|A_n\| \lt +\infty[/math].

Теорема (Банах, Штейнгауз, принцип равномерной ограниченности):

Пусть [math]X[/math] — банахово, [math]A_n \in L(X, Y)[/math], [math]A_n[/math] поточечно ограничена. Тогда [math]A_n[/math] равномерно ограничена.

33 Условие замкнутости множества значений линейного оператора на базе априорной оценки решения операторного уравнения.

Определение:

Рассмотрим уравнение [math] Ax = y [/math] при заданном [math] y [/math]. Если для такого уравнения можно написать [math] \| x \| \le \alpha \| y \| [/math], где [math] \alpha [/math] — константа, то говорят, что это уравнение допускает априорную оценку решений.

Утверждение:

Если [math] A [/math] непрерывен, и уравнение [math] Ax = y [/math] допускает априорную оценку решений, то [math] R(A) = \mathrm{Cl} R(A) [/math].

34 Условие непрерывной обратимости лин. оператора.

Определение:

Оператор [math] A : X \to Y [/math] называется непрерывно обратимым, если существует [math] A^{-1} : Y \to X [/math] и [math] \| A^{-1} \| \lt \infty [/math], причем [math]A^{-1}[/math] должен быть определен на всем [math]Y[/math].

Теорема:

Пусть [math] A : X \to Y [/math] — линейный ограниченный оператор, и [math]\exists m \gt 0: m \| x \| \le \| Ax \| [/math]. Тогда [math] A [/math] непрерывно обратим на [math]R(A)[/math].

35 Теорема Банаха о непрерывной обратимости [math]I-C[/math].

Теорема (Банах, о непрерывной обратимости I-C):

Пусть [math] X [/math] — B-пространство, оператор [math] C : X \to X, C \in \mathbb{L}(X) [/math] и [math] \| C \| \lt 1 [/math]. Тогда оператор [math] I - C [/math], где [math] I [/math] — тождественный оператор, непрерывно обратим.

36 Лемма о множествах [math]X_n = {||Ax|| \lt n ||x||}[/math].

Утверждение:

Рассмотрим линейный оператор [math] A : X \to Y [/math]. Обозначим [math] X_n = \{ x \in X: \| Ax \| \le n \| x \| \} [/math]. Тогда хотя бы одно [math] X_n [/math] всюду плотно в [math] X [/math].

37 Теорема Банаха об обратном операторе.

Теорема (Банаха, о гомеоморфизме):

Пусть [math] A : X \to Y [/math] — линейный ограниченный оператор, причем осуществляющий биекцию, тогда [math] A^{-1} [/math] — линейный ограниченный оператор.

38 Теорема о замкнутом графике.

Определение:

Графиком линейного оператора [math] A: X \to Y [/math] называется множество [math] G(A) = \{ (x, Ax) \mid x \in X \}, G(A) \subset X \times Y [/math].

Теорема (о замкнутом графике):

Линейный [math]A : X \to Y [/math] ограничен [math] \iff [/math] [math] G(A) [/math] — замкнут.

39 Теорема об открытом отображении.

Определение:

[math] F : X \to Y [/math] — произвольное отображение. Если для любого открытого [math] G \subset X [/math] [math] F(G) [/math] открыто в [math] Y [/math], то [math] F [/math] называют открытым отображением.

Теорема (об открытом отображении):

Пусть [math] A : X \to Y [/math] — линейный ограниченный оператор. Тогда [math] A [/math] — открытое отображение.

40 Теорема о резольвентном множестве.

Определение:

Рассмотрим некоторое [math]\lambda \in \mathbb C[/math]. Если для него существует и непрерывен оператор [math]R_\lambda(A) = R_\lambda = (A - \lambda I)^{-1}[/math] ([math]I[/math] — единичный оператор), то он называется резольвентой. Множество таких [math]\lambda[/math], для которых существует [math]R_\lambda[/math], обозначается [math]\rho(A)[/math], и называется резольвентным множеством, дополнение к нему обозначается [math]\sigma(A)[/math] и называется спектром оператора [math]A[/math].

Утверждение (замкнутость спектра):

[math]\rho(A)[/math] — открытое множество в [math]\mathbb C[/math];

41 Теорема о спектральном радиусе.

Определение:

[math]r_\sigma(A) = \inf\limits_{n \in \mathbb N} \sqrt[n]{\|A^n\|}[/math] — спектральный радиус оператора.

Утверждение:

[math]r_\sigma(A) = \lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\|A^n\|}[/math]

42 Аналитичность резольвенты.

Утверждение (аналитичность резольвенты в резольвентном множестве):

[math]R_\lambda[/math] как функция из комплексного числа в ограниченный оператор, аналитична в [math]\rho(A)[/math] и в бесконечно удаленной точке комплексной плоскости.

43 Непустота спектра ограниченного оператора.

Теорема (непустота спектра ограниченного оператора):

[math]\|A\| \lt +\infty \implies \sigma(A) \ne \varnothing[/math]