Задача Коши для ДУ высших порядков
| Определение: |
| [math]F(x, y, y', \dots, y^{(n)}) = 0\:\:(1) - [/math] ДУ порядка n |
| Определение: |
| Задача отыскания решения ДУ (1), удовлетворяющего услювию [math]y(x_{0}) = y_{0}, y'(x_{0}) = y'_{0}, \:\dots\:, y^{(n - 1)}(x_{0}) = y_{0}^{(n - 1)}[/math], где [math]y_{0}, y'_{0}, \dots, y_{0}^{(n- 1)} \in \mathbb{R}[/math] |
| Теорема (Пикар): |
Пусть ДУ разрешено относительно производной n-ного порядка т.е. [math]y^{(n)}= f(x, y, y', \dots, y^{(n - 1)})[/math], f - непрерывна в некоторой окрестности начальных условий V и [math]\frac{\partial f}{\partial y^{(j)}} \in C(V)[/math]
тогда существует единственное решение задачи Коши |
| Определение: |
| Функция [math]y = \phi(x, y, C_1, \dots , C_n)[/math] является общим решением, если:
1) Система разрешима относительно производных т.е.
[math]\:\:\left\{\begin{matrix}
y =\phi (x, C_1, \dots, C_n)
\\
y' =\phi' (x, C_1, \dots, C_n)
\\
\dots
\\
y^{(n - 1)} =\phi^{(n - 1)} (x, C_1, \dots, C_n)
\end{matrix}\right.
\Rightarrow
\left\{\begin{matrix}
C_1 =\psi_1 (x, y', \dots, y^{(n - 1)})
\\
C_2 =\psi_2 (x, y', \dots, y^{(n - 1)})
\\
\dots
\\
C_n =\psi_n (x, y', \dots, y^{(n - 1)})
\end{matrix}\right.[/math]
2)[math]y = \phi(x, C_1, \dots, C_n)[/math] — решение уравнения (2) для любого набора констант [math]C_1, \dots, C_n[/math]. |
Специальные типы ДУ высших порядков
1) [math]y^{(m)}= f(x)\:\:\: \Rightarrow \: y = \int \dotsc \int f(x)dx + \frac{C_1x^{n - 1}}{(n - 1)!} + \frac{C_2x^{n - 2}}{(n - 2)!} + \dots + C_{n - 1}x + C_n
[/math]
2)
[math]F(x, y^{(k)}, \dots, y^{(n)}) = 0 \Rightarrow y^{(k)}(x) = z(x) \Rightarrow y^{(n)} = z^{(n- k)}(x) \Rightarrow F(x, z', \dots, z^{(n - k)}) = 0[/math]
3)
[math]F(y, y', \dots, y^{(n)}) = 0 \Rightarrow y' = z(y) \Rightarrow y''=z'(y)= zz' \Rightarrow y^{(n)} = \phi (z, z', \dots, z^{(n - 1)})[/math]
