Примеры матроидов: графовый матроид

Определение:

Пусть [math]G = (V, E)[/math] - неориентированный граф. Тогда [math]M = (E, I_G)[/math], где [math]I_G[/math] состоит из всех ацикличных множеств ребер (то есть являющихся лесами), называют матричным матроидом.

Лемма:

Матричный матроид является матроидом.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Проверим выполнение аксиом независимости: 1) [math]\varnothing \in I_G[/math] Пустое множество является ациклическим, а значит входит в [math]I_G[/math]. 2) [math]A \subset B, B \in I_G \Rightarrow A \in I_G[/math] Очевидно, что любой подграф леса, так же является лесом, а значит входит в [math]I_G[/math]. 3) [math]\mid A \mid \lt \mid B \mid \Rightarrow \mathcal {9} x \in B \setminus A, A \cup \mathcal{f} x \mathcal {g} \in I_G[/math]

[math]\triangleleft[/math]