0-1 принцип

Есть два способа проверить сеть из n компараторов на то, что она сортирующая.

Первый, наивный способ - перебрать все перестановки из n элементов, пропустить их через сеть и проверить их на то, что они отсортированы. Этот подход потребует [math] O(n! \cdot Comp(n)) [/math] действий, где [math] Comp(n) [/math] - количество компараторов в сети из n элементов. Обычно это количество можно оценить как [math] n^2 \log n [/math](сеть Бэтчера), то есть получаем асимптотику [math] O(n! n^2 \log n) [/math], то есть при n, равном уже 10, проверить сеть очень проблематично.

Второй способ основывается на предположении что если сеть сортирует все последовательности из нулей и единиц, то сеть является сортирующей. Если мы докажем это, то сможем проверять сеть за [math] O(2^n \cdot Comp(n)) [/math], что намного быстрее.

Определение:

Функция [math] f [/math] из A в B называется монотонной, если [math] \forall a_1, a_2 \in A : a_1 \le a_2 \Rightarrow f(a_1) \le f(a_2) [/math]

Лемма:

Пусть [math] f: A \rightarrow B [/math] - монотонная. Тогда [math] \forall a_1, a_2 \in A: f(\min(a_1, a_2)) = \min(f(a_1), f(a_2)) [/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Не теряя общности, предположим что [math] a_1 \le a_2 [/math]. Тогда, [math] f(\min(a_1, a_2)) = f(a_1) [/math]. Также, по монотонности, [math] f(a_1) \le f(a_2) [/math]. Тогда [math] \min(f(a_1), f(a_2)) = f(a_1) [/math]. То есть, [math] f(\min(a_1, a_2)) = \min(f(a_1), f(a_2)) = f(a_1) [/math]. Такие же рассуждения можно провести для случая [math] a_2 \lt a_1 [/math].

[math]\triangleleft[/math]

Определение:

Рассмотрим отображение [math] f: A \rightarrow B [/math] и последовательность [math] a = (a_0, a_1, \dots, a_{n-1}) [/math]. Определим [math] f(a) [/math] как последовательность [math] f(a_0), f(a_1), \dots , f(a_{n-1}) [/math], то есть [math] f(a_i) = f(a)_i [/math]

Лемма:

Пусть [math] f: A \rightarrow B [/math] - монотонная, а [math] N [/math] - какая-то сеть компараторов. Тогда [math] N [/math] и [math] f [/math] коммутируют: [math] N(f(a)) = f(N(a)) [/math] - другими словами, неважно, применить сначала [math] f [/math] к [math] a [/math] и пропустить через сеть [math] N [/math], или пропустить через сеть [math] N [/math] последовательность [math] a [/math], а потом применить монотонную функцию [math] f [/math].

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим произвольный компаратор [math] [i: j] [/math], сортирующий элементы [math] a_i [/math] и [math] a_j [/math]. Применим его к последовательности [math] f(a) [/math] и рассмотрим элемент с индексом [math] i [/math]. [math] [i: j]f(a)_i [/math] [math]= [i: j](f(a_0), \dots, f(a_{n-1}))_i [/math] (по введенному нами определению) [math] = \min(f(a_i), f(a_j)) [/math] (по определению компаратора) [math] = f(\min(a_i, a_j)) [/math] (по уже доказанной лемме) [math] = f([i: j](a)_i) [/math] (по определению компаратора) [math] = f([i: j](a))_i [/math](по введенному нами определению). То есть, в результате [math] i [/math]-й элемент не зависит от порядка применения компаратора [math] [i: j] [/math] и функции [math] f [/math]. Те же рассуждения можно провести для всех других индексов, то есть [math] [i: j]f(a) = f([i: j](a)) [/math], и также для всех компараторов в сети, то есть лемма доказана.

[math]\triangleleft[/math]

Теорема (0-1 принцип):

Если сеть компараторов сортирует все последовательности из нулей и единиц, то она сортирующая

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим сеть [math] N [/math] , сортирующую в возрастающем порядке: [math] a_0 \le a_1 \le \dots \le a_{n-1} [/math]. Предположим, что есть последовательность [math] a [/math], которую сеть [math] N [/math] не сортирует. Тогда после пропуска [math] a [/math] через сеть [math] N [/math], получим последовательность b, в которой найдется индекс [math] i [/math] такой, что [math] b_i \gt b_{i + 1} [/math]. Рассмотрим функцию [math] f(x) = \begin{cases} 0, x \lt b_i \\ 1, x \ge b_i \end{cases} [/math] . Очевидно, она монотонная. Заметим, что [math] f(b_i) = 1 [/math], а [math] f(b_{i + 1}) = 0 [/math], то есть [math] f(b) [/math], или [math] f(N(a)) [/math] - не отсортирована. Так как [math] f [/math] и [math] N [/math] коммутируют, [math] N(f(a)) [/math] - также не отсортирована. Но по предположению теоремы, все последовательности из нулей и единиц сеть сортировать умеет, то есть такой последовательности [math] a [/math] не найдется, то есть сеть компараторов является сортирующей.

[math]\triangleleft[/math]