Конфигурация
<wikitex>
Содержание
Общие определения (R^d)
| Определение: |
| Гиперплоскостью (англ. hyperplane) в $\mathbb{R}^d$ называется его подпространство размерности $\mathbb{R}^{d - 1}$. |
| Определение: |
| Конфигурацией (англ. arrangement) $\mathcal{A}(\mathcal{H})$ называется разбиение $\mathbb{R}^d$ в связные открытые(топологически) области размерностей $0, 1 \dots d $ множеством $\mathcal{H}$ гиперплоскостей в $ \mathbb{R}^d$. |
| Определение: |
| Ячейкой (англ. cell) размерности $d$ в $\mathcal{A}(\mathcal{H})$ называется максимальная связная область в $R^d$, не пересекаемая ни одной гиперплоскостью в $\mathcal{H}$. Ячейкой размерности $k$, где $0 \le k < d$ в $\mathcal{A}(\mathcal{H})$ называется максимальная связная область в пересечении гиперплоскостей подмножества $\mathcal{S} \in \mathcal{H}$, которая не пересекается ни одной гиперплоскостью из множества $\mathcal{H} \setminus \mathcal{S}$.
|
| Определение: |
| Вершина (англ. vertex) — ячейка размерности 0. Ребро (англ. edge) — ячейка размерности 1. |
Обобщения
В общем случае, не обязательно требовать, чтобы $\mathcal{S}$ было множеством гиперплоскостей. Накладывая некоторые ограничения на гиперповерхности, можно также добиться корректных конфигураций.
К примеру, в $\mathbb{R}^2$ вместо линий (гиперплоскости в $\mathbb{R}^2$) можно брать монотонные по x (то есть каждая параллельная оси y линия пересекает её не более, чем в 1 точке) Жордановы дуги (англ. x-monotonic Jordan arcs), причём такие что максимально количество взаимопересечений каждой пары дуг такого множества — заранее фиксированная константа. Засчёт этого ограничения отсеиваются такие пары дуг как, например, $y = \sin(x)$ и $y = \cos(x)$. А вот пару дуг $y = \cos(x)$ и $y = x^2$ можно взять.
Плоскость (R^2)
Разрешим ограничивать гиперплоскости — то есть введём лучи и отрезки. Тогда ячейками размерности 0 также считаются точки, ограничивающие их.
Пример
Возьмём $\mathcal{H} = \{AB, CD, EF, a\}$.
 Цветами выделены ячейки размерности 2. Жёлтая и зелёная ячейки не ограничены, красная — ограничена. |
 Взяв множество S с единственным отрезком AB, получим три ячейки размерности 1. Взяв за множество S поочерёдно CD, EF и a, получим остальные ячейки размерности 1. |
 Взяв поочерёдно за множество S множества {a, EF}, {a, AB}, {AB, CD, EF}, получим ячейки G, H и I размерности 0. Как было замечено, точки A, B, C, D, E, F — также ячейки размерности 0 как органичивающие отрезки. |
Представления конфигураций
| Определение: |
| Пусть $c_1$ - ячейка размерности $k_1$, а $c_2$ — ячейка размерности $k_2$ в конфигурации $\mathcal{A}(\mathcal{S})$. Если $k_2 = k_1 + 1$ и $c_1$ ограничивает $c_2$, то $c_1$ — подъячейка (англ. subcell) $c_2$, а $c_2$ — надъячейка (англ. supercell) $c_1$. |
Иногда удобно вводить ячейку размерности -1 — она является подъячейкой любой ячейки размерности 0, и ячейку размерности d+1 — она является надъячейкой любой ячейки размерности d.
Граф смежности
Граф смежности (англ. incidence graph) конфигурации $\mathcal{A}(\mathcal{S})$ — граф, в котором множество вершин состоит из всех ячеек (в том числе и ячейки размерности -1 и d+1), а ребро между вершинами существует если ячейки, им соответствующие, смежны. Для конфигурации $n$ гиперплоскостей в пространстве $\mathbb{R}^n$ оценкой на количество вершин является $O(n^d)$.
Пример
 Пример конфигурации. Номерами обозначены ячейки размерности 2. |
 Граф смежности для этой конфигурации. Ячейка Super — ячейка размерности d+1, Sub — размерности -1 |
Скелет
Скелетом (англ. skeleton) называется множество всех вершин и рёбер в конфигурации. Естественным образом он представляется в виде графа. Он позволяет пройтись по всей конфигурации.
Пример
В качестве примера выделить второй и третий снизу слои графа из примера для графа смежности.
РСДС (R^2)
Заметим, что на плоскости можно выделить определённый порядок обхода рёбер и позже использовать эту информацию. Граф смежности же не учитывает порядок рёбер и направление. Для того, чтобы поддерживать этот порядок, используется рёберный список двойной связности, РСДС (англ. doubly-connecned edge list, DCEL).
РСДС можно обобщить в cell-tuple structure для произвольной размерности. Она позволяет относительно просто представить информацию о смежности ячеек и порядке обхода конфигурации. Также для $\mathbb{R}^3$ существует похожая структура данных Quad-edge
Представление
Для удобства каждое ребро разбивается на два ориентированных полуребра (half-edges). Каждое полуребро принадлежит только одной грани — той, которая окажется слева если идти по направлению полуребра (т.е. при обходе грани против часовой стрелки). РСДС в общем случае содержит запись о каждой грани, полуребре и вершине конфигурации. Рассмотрим каждый список в отдельности:
- Список граней содержит данные о грани (например, номер) и указатель на произвольное полуребро, принадлежащее ей.
- Список полурёбер содержит данные о полуребре, его близнеце (twin edge) — противоположном направленному полуребру (оно не всегда существует, если его нет, будем хранить null), следующем (next) и предыдущем (previous) полуребру в порядке обхода грани, указатели на вершины начала (origin) и конца (destination) и соответствующую ему грань.
- Список вершин содержит данные о вершине, её координаты и указатель на любое полуребро с началом в ней.
С помощью такого списка можно за линейное время находить все рёбра, ограничивающие данную грань в порядке обхода против часовой стрелки и получить координаты вершин, ограничивающих её.
Стоит заметить, что если нам не нужна дополнительная информация о гранях и вершинах, можно и вовсе не строить таблицы для них.
Пример
| Пример конфигурации. Номерами обозначены грани. |
 Стрелками обозначены полурёбра. |
Построим часть РСДС для данной конфигурации.
|
|
|
Применения
- Планирование движения роботов (motion planning)
- К примеру, с помощью конфигураций решается задача о движении робота, имеющего форму полигона(не обязательно выпуклого) и умеющего поворачиваться, на плоскости с полигональными препятствиями.
- Задача о треугольнике минимальной площади(minimum area triangle)
- Дано $n$ точек в $\mathcal{R}^d$. С помощью конфигураций можно за $O(n^d)$ найти симплекс минимального объема (симплекс на плоскости — треугольник).
Источники
- Goodman J.E., O'Rourke J. Handbook of discrete and computational geometry. p. 537, 2004, 2nd edition.
- Wikipedia — Doubly connected edge list
</wikitex>
