Критерий существования определённого интеграла

Эта статья находится в разработке!

Пример

В простейших случаях легко убедиться в существовании определённого интеграла.

Например, для [math]f(x) = m[/math]:

[math]\sigma(f, \tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} m\Delta x_k = m(b - a)[/math]

Значит, [math]\int\limits_a^b m dx = m(b - a)[/math]

Функция Дирихле

Рассмотрим функцию Дирихле: [math] d(x) = \left\{ \begin{aligned} 1,\ & x \notin \mathbb{Q} \\ 0,\ & x \in \mathbb{Q} \\ \end{aligned} \right. [/math]

Тогда можно составить две различных системы точек:

• [math]X_Q = \{a | a \in \mathbb{Q} \}[/math]
• [math]X_R = \{a | a \notin \mathbb{Q} \}[/math]

В одном случае получаем, что [math]\int\limits_0^1 d(x) dx = 0[/math], а в другом — [math]\int\limits_0^1 d(x) dx = 1[/math].

Но он, по определению, не должен зависеть от выбранного набора точек. Значит, функция Дирихле — не интегрируема.

Суммы Дарбу

Возникает вполне логичный вопрос: <<Какова должна быть функция [math]f[/math], чтобы быть интегрируемой?>>. Напишем ответ на классическом языке(Дарбу).

В силу того, что ограниченность функции необходима для интегрируемости, далее это не оговаривается.

Пусть задана ограниченная функция [math]f \colon [a; b] \to \mathbb{R}[/math] и задан набор точек [math]\tau : a = x_0 \lt x_1 \lt \ldots \lt x_n = b[/math]

Определим

[math]m_k(f) = m_k = \inf\limits_{x \in [x_k; x_{k+1}]} f(x)[/math]
[math]M_k(f) = M_k = \sup\limits_{x \in [x_k; x_{k+1}]} f(x)[/math]
[math]\underline{s} (f, \tau) = \underline{s} (\tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} m_k \Delta x_k[/math] — нижняя сумма Дарбу
[math]\overline{s} (f, \tau) = \overline{s} (\tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} M_k \Delta x_k[/math] — верхняя сумма Дарбу

Тогда, очевидно, [math]\underline{s}(\tau) \leq \sigma(\tau) \leq \overline{s}(\tau)[/math].

Определение:

Если [math]\tau_1 \subset \tau_2[/math], то говорят, что [math]\tau_2[/math] мельче, чем [math]\tau_1[/math], или же [math]\tau_2 \leq \tau_1[/math]

Утверждение:

Сумма Дарбу обладает следующими свойствами: [math]\underline{s}(\tau) \leq \overline{s}(\tau)[/math] [math]\tau_1 \subset \tau_2 \Rightarrow \left\{ \begin{aligned} \underline{s}(\tau_1) & \leq & \underline{s}(\tau_2) \\ \overline{s}(\tau_1) & \geq & \overline{s}(\tau_2) \\ \end{aligned} \right. [/math] [math]\forall \tau_1, \tau_2 \ \underline{s}(\tau_1) \leq \overline{s}(\tau_2)[/math]

[math]\triangleright[/math]

Первое свойство очевидно(из определения сумм Дарбу). Докажем второе свойство. Ясно, что достаточно рассмотреть случай, когда в [math]\tau_1[/math] добавлена только одна точка. [math]a = x_0 \lt x_1 \lt \ldots \lt x_n = b[/math] — [math]\tau_1[/math] [math]a = x_0 \lt x'_0 \lt x_1 \lt \ldots x_n = b[/math] — [math]\tau_2[/math] Докажем неравенство для нижних сумм. Обозначим [math]m_0[/math], [math]m'_0[/math] и [math]m''_0[/math] [math]m_0 = \inf\limits_{x \in [x_0; x_1]} f(x)[/math], [math]m'_0 = \inf\limits_{x \in [x_0; x'_0]} f(x)[/math], [math]m''_0 = \inf\limits_{x \in [x'_0; x_1]} f(x)[/math]. Тогда, очевидно, [math]m_0 \leq m'_0, m''_0[/math] [math]m_0(x_1 - x_0) = m_0(x'_0 - x_0) + m_0(x_1 - x'_0) \leq m'_0(x'_0 - x_0) + m''_0(x_1 - x'_0)[/math] Далее все слагаемые будут одинаковы. Значит, неравенство выполнено. Третье свойство Положим [math]\tau_3 = \tau_1 \cup \tau_2[/math]. Тогда [math]\tau_3 \leq \tau_1, \tau_2[/math]. Значит, в силу пунктов 1 и 2, получим: [math]\underline{s}(\tau_1) \leq \underline{s}(\tau_3) \leq \overline{s}(\tau_3) \leq \overline{s}(\tau_2)[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Критерий интегрируемости

Пусть [math]\omega(f, \tau) = \overline{s}(\tau) - \underline{s}(\tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} (M_k - m_k)\Delta x_k \geq 0[/math]

[math]\lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \omega(f, \tau) = 0 \Leftrightarrow[/math] [math]\forall \varepsilon \gt 0\ \exists \delta \gt 0 : \ \operatorname{rang} \tau \lt \delta \Rightarrow \omega(f, \tau) \lt \varepsilon[/math]

Определим [math]\underline{I} = \sup\limits_{\{\tau\}} \underline{s}(\tau)[/math], [math]\overline{I} = \inf\limits_{\{\tau\}} \overline{s}(\tau)[/math]

[math]I = \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \sigma(\tau)[/math]

Теорема (Критерий интегрируемости):

[math]f \in \mathcal{R}(a; b) \iff \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \omega(f, \tau) = 0[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

1. [math]f \in \mathcal{R}(a; b)[/math] [math]\exists I = \lim \sigma(\tau)[/math] [math]\forall \varepsilon \gt 0\ \exists \delta \geq 0 : \ \operatorname{rang} \tau \lt \delta \Rightarrow I - \varepsilon \leq \sigma(\tau) \leq I + \varepsilon[/math] Это верно для любой системы промежуточных точек. В интегральной сумме [math]\Delta x_k \gt 0[/math]. Отсюда следует, что если варьировать промежуточные точки, и по ним перейти к [math]\inf[/math] и [math]\sup[/math], то [math]\inf = \underline{s}[/math], [math]\sup = \overline{s}[/math]. Так как написанное неравенство выполняется для любой системы точек, то в силу определения граней, мы можем получить, что [math]I - \varepsilon \leq \underline{s}(\tau) \leq \overline{s}(\tau) \leq I + \varepsilon \Rightarrow[/math] [math]\omega(f, \tau) \leq 2\varepsilon[/math] [math]\varepsilon \to 0 \Rightarrow \lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \omega(f, \tau) = 0[/math] 2. [math]\lim\limits_{\operatorname{rang} \tau \to 0} \omega(f, \tau) = 0[/math] Воспользуемся неравенствами, написанными перед теоремой вместе с числами [math]\overline{I}[/math] и [math]\underline{I}[/math]. (что хотели сказать фразой <<вместе с числами \_I и \^I>>?) [math]0 \leq \overline{I} - \underline{I} \leq \omega(f, \tau)[/math] Но, так как [math]\omega(f, \tau) \to 0[/math], то [math]\overline{I} = \underline{I} = I[/math] [math]\underline{s}(\tau) \leq I,\ \sigma(\tau) \leq \overline{s}(\tau)[/math] [math]|\sigma(\tau) - I| \leq \omega(f, \tau) \to 0[/math] Тогда, по принципу сжатой переменной, [math]I = \sigma(\tau)[/math] Значит, искомый интеграл [math]\int\limits_a^b f(x) = I[/math] существует.

[math]\triangleleft[/math]

Функция Римана

Приведём важный пример применения этой теоремы.

Вернёмся к функции Дирихле.

[math] d(x) = \left\{ \begin{aligned} 1,\ & x \notin \mathbb{Q} \\ 0,\ & x \in \mathbb{Q} \\ \end{aligned} \right. [/math]

Эта функция не интегрируема. Плохая она в том смысле, что она разрывна в каждой точке.

Сейчас мы эту функцию немного изменим. Точек разрыва у новой функции будет всё ещё бесконечно много, но доминировать уже будут точки непрерывности на любом отрезке. Это приведёт к тому, что функция станет интегрируемой, хотя на любом её конечном отрезке множество её точек разрыва будет всюду плотным, и её график всё ещё будет не нарисовать.

[math] r(x) = \left\{ \begin{aligned} 1,\ & x \notin \mathbb{Q} \\ 1 - \frac1n,\ & x \in \mathbb{Q}, x = \frac{m}{n}\\ \end{aligned} \right. [/math]

Утверждение:

[math]\int\limits_0^1 r(x) = 1[/math]

[math]\triangleright[/math]

Очевидно, что в любом конечном отрезке имеется лишь конечное число несократимых дробей с наперёд заданным знаменателем. Отсюда следует, что функция Римана в каждой (какое-то мутное место) иррациональной точке непрерывна, а в каждой рациональной — разрывна (/мутное место). Покажем, что существует [math]\int\limits_0^1 r(x)[/math]. Для этого выпишем [math]\omega[/math]. [math]\omega(r, \tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1}(M_k - m_k) \Delta x[/math]. Нужно показать, что это стремится к нулю. Если мы докажем, что эта функция интегрируема (что как раз равносильно стремлению последнего к нулю), то вопрос её вычисления станет тривиальным, ибо если у интеграционной суммы есть предел, то он не зависит от [math]\tau[/math]. Это позволяет выбирать промежуточные точки таким образом, чтобы предел сумм считался легко. Будем составлять интегральные суммы, выбирая в качестве промежуточных точек иррациональные числа. Тогда соответствующая интегральная сумма окажется равной [math]\int\limits_0^1 r(x) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} x_{k + 1} - x_k = 1[/math] Поэтому, вся трудность заключается в доказательстве существования интеграла. Обычно существование интеграла через [math]\omega[/math] доказывается следующим образом: интересующая сумма разбивается на две, таким образом, чтобы в первой сумме [math]M_k - m_k[/math] было мало, но [math]\sum \Delta x_k \approx b - a[/math]. Во второй сумме надо, чтобы [math]\sum \Delta x[/math] было достаточно малым (эти [math]\Delta x[/math] — плохие). Тогда сумма обеих сумм окажется малой, и задача будет решена. Пусть [math]\varepsilon \gt 0[/math]. Тогда [math]\exists N_\varepsilon:\ \frac1{N_\varepsilon} \leq \varepsilon[/math] [math][x_k; x_{k + 1}],\ M_k = 1[/math](так как на отрезке есть иррациональные числа). Разберёмся с [math]m_k[/math]. Его поиск связан с перебором чисел вида [math]1 - \frac1n[/math] и поиском минимума из них, при этом, [math]\frac{m}{n} \in [x_k; x_{k + 1}][/math]. [math]m_k = 1 - \frac1{P_k}[/math], где [math]P_k[/math] — наименьший из тех знаменателей, для которых соответствующая рациональная дробь содержится в текущем отрезке. Тогда [math]M_k - m_k = \frac1{P_k}[/math]. В отрезке [math][0; 1][/math] дробей со знаменателем меньшим [math]N_\varepsilon[/math] конечное число. Тогда отсюда ясно, что если рассмотреть [math]\tau[/math] достаточно малого ранга, то сумма длин тех отрезков, в которых содержатся несократимые дроби [math]\frac{m}{N_\varepsilon}[/math] будет достаточно малым и при [math]\operatorname{rang} \tau \to 0[/math] сумма будет становиться мегьше и меньше. Что касается других промежуточных отрезков, то в силу формулы [math]M_k - m_k = \frac1{P_k}[/math], [math]P_k \gt N_\varepsilon[/math], [math]M_k - m_k \lt \frac1{N_\varepsilon} \leq \varepsilon[/math]. Но сумма этих отрезков не превзойдёт единицы. Оценим сверху [math]I[/math]: [math]\omega(r, \tau) \leq \varepsilon + N_\varepsilon^2 \operatorname{rang} \tau[/math]. Тогда при [math]\delta = \frac\varepsilon{N_\varepsilon^2}[/math]: [math]\omega(r,\tau) \leq \varepsilon + \varepsilon[/math] [math]\forall\varepsilon[/math] мы нашли [math]\delta[/math] такое, что [math]\operatorname{rang} \tau \delta \Rightarrow \omega(r, \tau) \leq 2\varepsilon[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Для того, чтобы с помощью этой теоремы можно было строить так называемые классы интегрируемых функций и получать дополнительные свойства интегралов, определим понятие <<колебание функции>> на отрезке и выведем для этой величины одно важное свойство.

Колебания

Определение:

Пусть [math]f[/math] определена на [math][c; d][/math] и ограничена на нём. Тогда колебанием ограниченной функции на отрезке [math][c;d][/math] назовём [math]\omega(f, [c; d]) = \sup\limits_{x_1, x_2 \in [c; d]} |f(x_2) - f(x_1)|[/math]

Интегрируемость непрерывного преобразования интегрируемой функции

Утверждение:

Пусть [math]m = \inf\limits_{x \in [c; d]} f(x)[/math] и [math]M = \sup\limits_{x \in [c; d]}[/math] Тогда [math]\omega(f, [c; d]) = M - m[/math]

[math]\triangleright[/math]

В силу [math]m \leq f(x')[/math], [math]f(x'') \leq M[/math], [math]|f(x'') - f(x')| \leq M - m[/math], значит, [math]\omega(f, [c; d]) \leq M - m[/math] Докажем обратное неравенство, используя определение граней. [math]\forall \varepsilon \gt 0\ \exists x', x'' \in [c; d]: \ f(x') \lt m + \varepsilon,\ M - \varepsilon \lt f(x'')[/math] Отсюда, очевидно, следует, что тогда [math]M - m - 2\varepsilon \lt f(x'') - f(x') \leq |f(x'') - f(x')| \leq \omega(f, [c; d])[/math] [math]M - m - 2\varepsilon \leq \omega(f, [c; d])[/math] Устремим [math]\varepsilon \to 0[/math]. Тогда [math]M - m \leq \omega(f, [c; d])[/math], что и требовалось

[math]\triangleleft[/math]

Интегрирование сложной функции

Теорема:

Пусть на [math][a; b][/math] задана интегрируемая функция [math]f, f(x) \in \mathcal {R}, f(x) \in [A; B][/math]. На отрезке [math][A; B][/math] задана непрерывная функция [math]F : [A;B] \to \mathbb{R}[/math]. Тогда [math]F \circ f \in \mathcal{R}(a; b)[/math]

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

В силу условия теоремы сложная функция корректно определена, так как элементы внутренней функции лежат в области, определённой внешней. Тогда нам нужно доказать, что [math]\operatorname{rang} \tau \to 0 \Rightarrow \omega(F \circ f, \tau) \to 0[/math] [math]\tau : a = x_0 \lt x_1 \lt \ldots \lt x_n \lt b[/math] [math]\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} (F(f(\bar{x}_k)) - F(f(\tilde{x}_k))) \Delta x_k [/math], (где [math]\bar{x}_k, \tilde{x}_k \in [x_k; x_{k + 1}][/math]) [math] \leq [/math](из свойств модуля непрерывности) [math] \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} \omega(F, |f(\bar{x}_k) - f(\tilde{x}_k)|) \Delta x_k[/math] [math]\leq[/math](по теореме о выпуклой мажоранте) [math](b-a)\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} \omega^*(F, |f(\bar{x}_k) - f(\tilde{x}_k)|) \frac{\Delta x_k}{b - a}[/math] (так как [math]\sum\limits_{k =0}^{n - 1} \frac{\Delta x_k}{b - a} = 1[/math], а [math]\omega^*[/math] выпукла вверх) [math]\leq (b - a) \omega^*(F, \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} |f(\bar{x}_k) - f(\tilde{x}_k)| \frac{\Delta x_k}{b - a})[/math] [math]\leq[/math](по теореме о выкуклой мажоранте) [math]2(b - a) \omega(F, \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} |f(\bar{x}_k) - f(\tilde{x}_k)| \frac{\Delta x_k}{b - a})[/math] По определению [math]\omega(f, \tau)[/math], [math]\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} |f(\bar{x}_k) - f(\tilde{x}_k)| \frac{\Delta x}{b - a} \leq \frac{1}{b - a} \omega(f, \tau)[/math] Отсюда, по монотонности модуля непрерывности, [math]\sum\limits_{k = 0}^{n - 1} |F(f(\bar{x}_k)) - F(f(\tilde{x}_k))| \Delta x_k[/math] [math]\leq 2(b - a)\omega(F, \frac1{b - a}\omega(f, \tau))[/math] Промежуточных точек не имеется, поэтому, переходя к [math]\sup[/math] по [math]\bar{x}_k[/math] и [math]\tilde{x}_k[/math], приходим к неравенству [math]\omega(F \circ f, \tau) \leq 2(b - a)\omega(f, \frac1{b - a} \omega(f, \tau))[/math] По условию, [math]f \in \mathcal{R}(a, b) \Rightarrow \omega(f, \tau) \to 0[/math] при [math]\operatorname{rang} \tau \to 0[/math] Тогда, по непрерывности в нуле [math]\omega[/math], [math]\omega(F, \frac1{b - a}\omega(f, \tau)) \to 0[/math] Тогда [math]\omega(F \circ f, \tau) \to 0 \Rightarrow F \circ f \in \mathcal{R}(a, b)[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Следствие

Утверждение:

Пусть [math]f, g \in \mathcal{R}(a, b)[/math]. Тогда [math]|f| \in \mathcal{R}(a, b)[/math] [math]f^2 \in \mathcal{R}(a, b)[/math] [math]fg \in \mathcal{R}(a, b)[/math]

[math]\triangleright[/math]

Первый и второй пункты получаются из теоремы, если вспомнить, что [math]|x|[/math] и [math]x^2[/math] — непрерывны. Докажем третий пункт. [math]fg = \frac14(f + g)^2 - \frac14(f - g)^2[/math]. Это интегрируется по линейности интеграла и второму пункту.

[math]\triangleleft[/math]

Аддитивность интеграла

Установим одно из самых важных свойств интеграла — его аддитивность.

Теорема (Аддитивность интеграла):

1. Пусть [math][a; b] \subset [c; d][/math] и [math]f \in \mathcal{R}(c;d)[/math]. Тогда [math]f \in \mathcal{R}(a, b)[/math] 2. Пусть [math]a \lt b \lt c[/math] и [math]f \in \mathcal{R}(a, b)[/math], [math]f \in \mathcal{R}(b, c)[/math]. Тогда [math]f \in \mathcal{R}(a, c)[/math] и [math]\int\limits_a^c f = \int\limits_a^b f + \int\limits_b^c f[/math]. Это свойство называется аддитивностью интеграла

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]\tau[/math] — разбиение [math][a; b][/math], [math][a; b] \subset [c; d][/math]. Поделим отрезки [math][c; a][/math] и [math][b; d][/math] таким образом, чтобы ранги их разбиений были не больше рангов разбиений [math][a; b][/math] и [math][c; d][/math]. Получаем разбиение [math]\tau^*[/math], [math]\operatorname{rang} \tau^* \leq \operatorname{rang} \tau[/math] Тогда [math]\omega(f, \tau) \leq w(f, \tau^*)[/math] Устремим [math]\operatorname{rang} \tau \to 0[/math]. Тогда [math]\operatorname{rang} \tau^* \to 0[/math] [math](\omega(f, \tau^*) \to 0) \Rightarrow (\omega(f, \tau) \to 0)[/math] Аналогично устанавливается пункт второй, часть интегрируемости. Что касается [math]\int\limits_a^c f[/math], то, раз все интегралы существуют, выстроить интегральные суммы специального вида, например, деля отрезки [math][a; b][/math] и [math][b; c][/math] на равные части, получаем разбиение отрезка [math][a; c][/math]. Тогда [math]\sigma(f, [a; c]) = \sigma(f, [a; b]) + \sigma(f, [b; c])[/math] Устремляя ранг этого разбиения к нулю, в пределе получаем искомую формулу.

[math]\triangleleft[/math]

Существование определённого интеграла непрерывной или возрастающей функции

Утверждение:

Если [math]f[/math] — 1. непрерывна на [math][a; b][/math] или 2. возрастает на [math][a; b][/math], то [math]f \in \mathcal{R}(a, b)[/math]

[math]\triangleright[/math]

1. Если [math]f[/math] непрерывна на [math][a;b][/math], то, по теореме Кантора о равномерной непрерывности на отрезке, она равномерно непрерывна на нём. Тогда [math]\forall \varepsilon \ \exists \delta: \quad |x'' - x'| \lt \delta \Rightarrow |f(x'') - f(x')| \lt \varepsilon[/math] Возьмём разбиение [math]\tau[/math], такое, что [math]\operatorname{rang} \tau \lt \delta[/math]. Тогда для любой пары соседних промежуточных точек [math]|f(x'') - f(x')| \lt \varepsilon[/math]. Тогда, по лемме о колебаниях, [math]M_k - m_k \lt \varepsilon[/math]. Получаем: [math]\omega(f, \tau) \leq \varepsilon \sum\limits_{k = 0}^{n -1} \Delta x_k = (b - a)\varepsilon[/math], если [math]\operatorname{rang} \tau \lt \delta[/math]. Устремляя [math]\varepsilon[/math] к нулю, получаем, что функция интегрируема. 2. [math]f[/math] возрастает. Так как [math]m_k[/math] — минимум на отрезке, а [math]M_k[/math] — максимум, то [math]m_k = f(x_k)[/math], [math]M_k = f(x_{k + 1})[/math] [math]\omega(f, \tau) = \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} (f(x_{k + 1}) - f(x_k)) \Delta x_k \leq [/math] [math]\operatorname{rang} \tau \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} f(x_{k + 1} - f(x_k)) = [/math] [math](f(b) - f(a)) \operatorname{rang} \tau[/math] Так как [math]\operatorname{rang} \tau \to 0[/math], [math]\omega(f, \tau) \to 0[/math] [math]\Rightarrow f \in \mathcal{R}(a, b)[/math]

[math]\triangleleft[/math]

Обобщение формулы аддитивности

Определение:

При [math]a \gt b[/math], [math]\int\limits_a^b f = -\int\limits_b^a[/math]

Легко проверить, что формулу аддитивности можно обобщить для немонотонной последовательности чисел [math]a_1, a_2, \ldots a_n[/math]:

[math]\int\limits_{a_1}^{a_n} = \int\limits_{a_1}^{a_2} + \int\limits_{a_2}^{a_3} + \cdots + \int\limits_{a_{n - 1}}^{a_n}[/math]