Изменения

|definition='''Независимые случайные величины''' - <tex> \xi</tex> и <tex>\eta</tex> называются независимыми, если для <tex>\forall \alpha ,\beta \in \mathbb R</tex> события <tex>[ \xi \leqslant \alpha ]</tex> и <tex>[ \eta \leqslant \beta ]</tex> независимы.<br> <tex>P(\xi \leqslant \alpha</tex> и <tex>\eta \leqslant \beta) = P(\xi \leqslant \alpha)·P(\eta \leqslant \beta)</tex>

Иначе говоря, случайная величина <tex>\xi</tex> называется независимой от величины <tex>\eta</tex>, если вероятность получить при измерениях некоторое значение величины <tex>\xi</tex> одной из них не зависит от значения величины <tex>\eta</tex>влияет на вероятность значений другой.

== Замечание Дискретные случайные величины =={{Определение|id=def2|definition=Случайные величины <tex>\xi_1,...,\xi_n</tex> с дискретным распределением независимы (в совокупности), если для <tex>\forall a_1,...,a_n</tex> имеет место равенство:<br><tex>P(\xi_1=a_1,...,\xi_n=a_n)=P(\xi_1=a_1)·...·P(\xi_n=a_n)</tex>}}Стоит отметить, что если <tex>\xi</tex> и <tex>\eta</tex> - дискретные случайные величины, то достаточно рассматривать случай <tex>\xi = \alpha</tex>, <tex>\eta = \beta</tex>. == Примеры == ==== Честная игральная кость ====Рассмотрим вероятностное пространство честная игральная кость <tex>\Omega = \mathcal {f} 1, 2, 3, 4, 5, 6 \mathcal {g}</tex>. <tex>\xi</tex> и <tex>\eta</tex> - случайные величины. <tex>\xi (i) = i \% 2</tex>, <tex>\eta (i) = [i \geqslant 3]</tex>.Для того, чтобы показать, что они независимы, надо рассмотреть все <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex>.

Стоит отметитьДля примера рассмотрим: <tex>\alpha = 0</tex>, <tex>\beta = 0</tex>. Тогда <tex>P( \xi \leqslant 0) = \frac{1}{2}</tex>, <tex>P( \eta \leqslant 0) = \frac{2}{3}</tex>, <tex>P((\xi \leqslant 0) \cap (\eta \leqslant 0)) = \frac{1}{3}</tex>.Аналогичным образом можно проверить, что для оставшихся значений <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> события также являются независимыми, а это значит, что если случайные величины <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex> независимы. ==== Тетраедер ==== <tex>\Omega = \mathcal {f} 0, 1, 2, 3 \mathcal {g}</tex>. <tex>\xi</tex> и <tex>\eta</tex> - дискретные случайные величины. <tex>\xi (x) = i \% 2</tex>, то достаточно рассматривать <tex>\eta(x) = \left \lfloor \frac{x}{2} \right \rfloor</tex>Рассмотрим случай : <tex>\alpha = 0</tex>, <tex>\beta = 0</tex>. <tex>P(\xi \leqslant 0) = \alphafrac{1}{2}</tex>, <tex>P(\eta \leqslant 1) = 1</tex> <tex>P(\xi \leqslant 0</tex> и <tex>\eta \leqslant 1) = \betafrac{1}{2}</tex>Для этих значений события являются независимыми, как и для других значений <tex>\xi</tex> и <tex>\eta</tex>(рассматривается аналогично), поэтому эти случайные величины независимы.

Заметим, что если: <tex>\xi (x) =i \% 3</tex>, <tex>\eta(x) = Пример =\left \lfloor \frac{x}{3} \right \rfloor</tex>То эти величины зависимы, т.к. <tex>\eta(3) =1</tex>, и в этом случае, мы можем однозначно определить значение <tex>\xi</tex>

=== Честная игральная кость =См. также ==Рассмотрим вероятностное пространство честная игральная кость <tex>\Omega = \mathcal {f} 1, 2, 3, 4, 5, 6 \mathcal {g}</tex>. <tex>\xi</tex> и <tex>\eta</tex> - случайные величины. <tex>\xi (i) = i \% 2</tex>, <tex>\eta (i) = [i \geqslant 3[Дискретная случайная величина]]</tex>. Для того, чтобы показать, что они независимы, надо рассмотреть все <tex>\alpha</tex> и <tex>\beta</tex>. Для примера рассмотрим <tex>\alpha = 0</tex>, <tex>\beta = 0</tex>. Тогда <tex>P( \xi \leqslant 0) = \frac{1}{2}</tex>, <tex>P( \eta \leqslant 0) = \frac{2}{3}</tex>, <tex>P((\xi \leqslant 0) \cap (\eta \leqslant 0)) = \frac{1}{3}</tex>. Эти события независимы, а значит случайные величины <tex>\xi</tex> и <tex>\eta</tex> независимы.

[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%B7%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%B9)#.D0.9D.D0.B5.D0.B7.D0.B0.D0.B2.D0.B8.D1.81.D0.B8.D0.BC.D1.8B.D0.B5_.D1.81.D0.BB.D1.83.D1.87.D0.B0.D0.B9.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D0.B2.D0.B5.D0.BB.D0.B8.D1.87.D0.B8.D0.BD.D1.8B Википедия: Независимость (теория вероятностей)]