355
правок
Изменения
→Признаки Дирихле и Абеля для рядов
=== Признак Лейбница. Следствие. ===
=== Признаки Дирихле и Абеля для рядов === {{Теорема|about=Признаки Дирихле и Абеля сходимости рядов|statement='''1. Признак Дирихле.''' Если посл-ть <tex>A_n=\sum_{k=1}^n a_k</tex> ограничена, а <tex>b_n\to0</tex>, то ряд <tex>\sum_{k=1}^n a_kb_k</tex> сходится. '''2. Признак Абеля.''' Если ряд <tex>\sum_{k=1}^n a_k</tex> сходится, а последовательность <tex>\{b_k\}</tex> ограничена, то ряд <tex>\sum_{k=1}^n a_kb_k</tex> сходится.|proof=1. Применим [[#Преобразование Абеля|преобразование Абеля]], положив <tex>A_0=0</tex>: <tex>\sum_{k=1}^na_kb_k=A_nb_n+\sum_{k=1}^{n-1}A_k(b_k-b_{k+1}).</tex> Из того, что <tex>\{A_n\}</tex> ограничена, а <tex>\{b_n\}</tex> бесконечно мала, следует, что <tex>A_nb_n\to0</tex>. Поэтому сходимость исходного ряда равносильна сходимости ряда <tex>\sum_{k=1}^\infty A_k(b_k-b_{k+1}).</tex> Докажем, что он сходится абсолютно. Пусть <tex>K</tex> таково, что <tex>\forall k |A_k|\le K</tex>. Поскольку <tex>\{b_k\}</tex> монотонна, все разности <tex>b_k-b_{k+1}</tex> одного знака. Следовательно, <tex>\sum_{k=1}^\infty |A_k(b_{k+1}-b_k)|\le K\sum_{k=1}^\infty |b_k-b_{k+1}|=K\left|\sum_{k=1}^\infty(b_k-b_{k+1})\right|=K|b_1-\underset{n\to\infty}{\lim}b_n|=K|b_1|.</tex> В предпоследнем равенстве мы вычислили телескопическую сумму. 2. Так как <tex>\{b_k\}</tex> монотонна и ограничена, <tex>\exists \underset{n\to\infty}{\lim}b_n=\alpha</tex>. Посл-ти <tex>\{a_k\}, \{b_k-\alpha\}</tex> удовлетворяют условиям признака Дирихле. Поэтому ряд <tex>\sum_{k=1}^\infty a_k(b_k-\alpha)</tex> сходится, а тогда и ряд <tex>\sum_{k=1}^\infty a_kb_k</tex> сходится как сумма двух сходящихся: <tex>\sum_{k=1}^\infty a_kb_k=\sum_{k=1}^\infty a_k(b_k-\alpha) + \alpha\sum_{k=1}^\infty a_k.</tex>}}
=== Теорема о группировке слагаемых ряда. Замечание о ряде с "ограниченными" скобками ===
