175
правок
Изменения
→Свойства мультипликативных функций
=== Свойства мультипликативных функций ===
*1. Из определения следует, что <tex> \theta(1)=1</tex>.
** '''Доказательство:''' Действительно, пусть <tex> \theta(a_0) \ne 0</tex>, тогда <tex> \theta(1\cdot a_0) = \theta(1)\theta(a_0)</tex>.
*2. Если <tex> \theta_1(a),\theta_2(a)</tex> {{---}} мультпликативные функции, то <tex> \theta(a) = \theta_1(a)\theta_2(a) </tex> {{---}} тоже мультипликативная.
** '''Доказательство:''' <tex> \theta(1) = \theta_1(1)\theta_2(1) = 1</tex> и условия определения выполнены.
*3. Пусть <tex> \theta(a) </tex> {{---}} мультипликативная функция и <tex> a = {p_1}^{\alpha_1} {p_2}^{\alpha_2} \ldots {p_k}^{\alpha_k}</tex> — каноническое разложение числа '''a''', тогда обозначая символом <tex> \sum_{d|a}</tex> {{---}} сумму, распространенную на все делители '''d''' числа '''a''', имеем <center> <tex>\sum_{d|a} \theta(d) = (1 + \theta(p_1) + \theta(p_1^2) + \ldots + \theta(p_1^{\alpha_1}))\ldots(1 + \theta(p_k) + \theta(p_k^2) + \ldots + \theta(p_k^{\alpha_k}))</tex> (в случае <tex> a=1 </tex> считаем правую часть равной единице)</center>
** '''Доказательство:''' Для доказательства этого свойства рассмотрим правую часть тождества. В ней будет сумма слагаемых вида : <tex> \theta(p_1^{\beta_1})\theta(p_2^{\beta_2})\ldots\theta(p_k^{\beta_k}) = \theta(p_1^{\beta_1} p_2^{\beta_2} \ldots p_k^{\beta_k})</tex>, причем ни одно такое слагаемое не будет пропущено, и ни одно не повторится более одного раза, а это, как раз, и есть то, что стоит в левой части.
== Свертка Дирихле ==
