4
правки
Изменения
Нет описания правки
'''Scapegoat-дерево''' {{---}} сбалансированное бинарное [[Дерево поиска, наивная реализация | двоичное дерево поиска]], обеспечивающее наихудшее <tex>O(\log N)</tex> время поиска, и <tex>O(\log N)</tex> {{- --}} амортизирующее время вставки и удаления элемента.В отличие от большинства других самобалансирующихся бинарных деревьев поиска , которые обеспечивают худшем случае <tex>O(\log N)</tex> время поиска, Scapegoat деревья не требуют дополнительной памяти в узлах по сравнению с обычным двоичным деревом поиска : узел хранит только ключ и два указателя на своих потомков.
== Операции ==
{{Определение
|definition=Бинарное дерево поиска называется '''сбалансированным по весу''', если половина вершин расположены слева от корня, а другая половина справа.}}<br><br>'''Введем обозначения:'''<br><br>Квадратные скобки в обозначениях означают, что мы храним хранится это значение явно, а значит можем можно взять за время <tex>ОO(1)</tex>. Круглые скобки означают, что значение будет вычисляться по ходу дела то есть память не расходуется, но зато нужно время на вычисление.* <tex>T</tex> — обозначение дерева<br><br>,* <tex>root[T]</tex> — корень дерева <tex>T</tex><br><br>, * <tex>left[x]</tex> — левый сын вершины x<brtex>x<br/tex>,* <tex>right[x]</tex> — правый сын вершины x<brtex>x<br/tex>,* <tex>\mathtt{brother(x)}</tex> — брат вершины х <tex>x</tex> (вершина, которая имеет с х общего родителя)<brtex>x<br/tex>общего родителя),* <tex>depth(x)</tex> — глубина вершины х<tex>x</tex>. Это расстояние от неё до корня (количество ребер)<br><br>,* <tex>height(T)</tex> — глубина дерева <tex>T</tex>. Это глубина самой глубокой вершины дерева T<brtex>T<br/tex>,* <tex>sizeweight(x)</tex> — вес вершины х<tex>x</tex>. Это количество всех её дочерних вершин + 1 (она сама)<br><br>,* <tex>sizeweight[T]</tex> — размер дерева <tex>T</tex>. Это количество вершин в нём (вес корня)<br><br>,* <tex>maxsize\mathtt{maxweight[T]}</tex> — максимальный размер дерева. Это максимальное значение, которое параметр <tex>sizeweight[T]</tex> принимал с момента последней перебалансировки.<br><br> Если перебалансировка произошла только что, то <tex>maxsize\mathtt{maxweight[T] } = sizeweight[T]</tex><br><br>
[[Файл:0ce162a62b624da8ba02233b4b254f23.png]]
Синим цветом обозначены '''глубины''' вершин, а красным - их '''веса'''.
Считается вес вершины следующим образом: для новой вершины вес = 1. Для её родителя вес = 1 (вес новой вершины) + 1 (вес самого родителя) + <brtex>\mathtt{weight(brother(x))}</tex>.Возникает вопрос {{---}} как посчитать <tex>\mathtt{weight(brother(x))}</tex>? Делается это рекурсивно. Это займёт время <tex>O\mathtt{(weight(brother(x)))}</tex>. Понимая, что в худшем случае придётся посчитать вес половины дерева — здесь появляется та самая сложность <tex>O(N)</tex> в худшем случае, о которой говорилось в начале. Но поскольку совершается обход поддерева <tex>\alpha</tex>-сбалансированного по весу дерева можно показать, что амортизированная сложность операции не превысит <tex>O(\log N)</tex>.В данном Scapegoat-дереве <tex>sizeweight[T] = 4</tex>, <tex>maxsize\mathtt{maxweight[T] } \geqslant 4</tex> Коэффициeнт <brtex>\alpha<br/tex>* Коэффициeнт α — это число в диапазоне от <tex>[0.5; 1)</tex>, определяющее требуемую степень качества балансировки дерева. <br>{{Определение|definition=Некоторая вершина <tex>x </tex> называется "'''α-сбалансированной по весу"''', если вес её левого сына меньше либо равен <tex>\alpha \cdot size(x)</tex> и вес ей правого сына меньше либо равен <tex>\alpha \cdot size(x)</tex>.}} <br><br>:<tex>sizemathtt{weight(left[x]) } \leqslant \alpha \cdot sizeweight(x)</tex>;<br><br>:и <tex>size\mathtt{weight(right[x]) } \leqslant \alpha \cdot size(x)</tex>;<br><br>.}}
Перед тем как приступить к работе с деревом, мы выбираем выбирается параметр α <tex>\alpha</tex> в диапазоне <tex>[0.5; 1)</tex>. Также заводим нужно завести две переменные для хранения текущих значений <tex>sizeweight[T]</tex> и <tex>maxsize\mathtt{maxweight[T]}</tex> и обнуляем обнулить их.<br><br>
=== Поиск элемента ===
=== Вставка элемента ===
Классический алгоритм вставки нового элемента: поиском ищем место, куда бы подвесить новую вершину, ну и подвешиваем. Легко понять, что это действие могло нарушить <tex>\alpha</tex>-балансировку по весу для одной или более вершин дерева. И вот теперь начинается то, что и дало название нашей структуре данных: мы ищем требуется найти Scapegoat-вершину — вершину, для которой потерян <tex>\alpha</tex>-баланс и её поддерево должно быть перестроено. Сама только что вставленная вершина, хотя и виновата в потере баланса, Scapegoat-вершиной стать не может — у неё ещё нет потомков, а значит её баланс идеален. Соответственно, нужно пройти по дереву от этой вершины к корню, пересчитывая веса для каждой вершины по пути. Может возникнуть вопрос - нужно ли хранить ссылки на родителей? Поскольку к месту вставки новой вершины пришли из корня дерева — есть стек, в котором находится весь путь от корня к новой вершине. Берутся родителей из него. Если на этом пути от нашей вершины к корню встретится вершина, для которой критерий <tex>\alpha</tex>-сбалансированности по весу нарушился — мы тогда полностью перестраиваем перестраивается соответствующее ей поддерево так, чтобы восстановить <tex>\alpha</tex>-сбалансированность по весу. <br><br>Сразу возникает появляется вопрос {{---}} Как как делать перебалансировку найденной Scapegoat-вершины?<br><br>Есть 2 способа перебалансировки, {{---}} ниже подробнее рассказывается о каждом из нихтривиальный и чуть более сложный.====1 Тривиальный способ перебалансировки====# Обходим всё поддерево совершается обход всего поддерева Scapegoat-вершины (включая её саму) с помощью in-order обхода — на выходе получаем получается отсортированный список (свойство In-order обхода бинарного дерева поиска).# Находим медиану Находится медиана на этом отрезке, подвешиваем её и подвешивается в качестве корня поддерева.# Для «левого» и «правого» поддерева рекурсивно повторяем ту повторяется та же операциюоперация.Данный способ требует <tex>O\mathtt{(sizeweight(Scapegoat-root))}</tex> времени и столько же памяти.====2 Более сложный способ перебалансировки====Мы Время работы перебалансировки вряд ли улучшим время работы перебалансировки улучшится — всё-таки каждую вершину нужно «подвесить» в новое место. Но мы можем можно попробовать сэкономить память. Давайте посмотрим на 1 способ алгоритма внимательнее. Вот мы выбираем выбирается медиану, подвешиваем подвешивается в корень, дерево делится на два поддерева — и делится весьма однозначно. Никак нельзя выбрать «какую-то другую медиану» или подвесить «правое» поддерево вместо левого. Та же самая однозначность преследует нас и на каждом из следующих шагов. Т.е. для некоторого списка вершин, отсортированных в возрастающем порядке, у нас будет ровно одно порождённое данным алгоритмом дерево. А откуда же мы взяли берется отсортированный список вершин? Из in-order обхода изначального дерева. То есть каждой вершине, найденной по ходу in-order обхода перебалансируемого дерева соответствует одна конкретная позиция в новом дереве. И мы можем можно эту позицию рассчитать и без создания самого отсортированного списка. А рассчитав — сразу её туда записать. Возникает только одна проблема — мы ведь этим затираем какуюзатирается какая-то (возможно ещё не просмотреннуюпросмотренная) вершину вершина — что же делать? Хранить её. Где? Ответ прост: выделять для списка таких вершин память. Но этой памяти нужно будет уже не <tex>O(sizeweight(N))</tex>, а всего лишь <tex>O(\log N)</tex>.
Представьте себе в уме дерево, состоящее из трёх вершин — корня и двух подвешенных как «левые» сыновья вершин. In-order обход вернёт нам эти вершины в порядке от самой «глубокой» до корня, но хранить в отдельной памяти по ходу этого обхода нам придётся всего одну вершину (самую глубокую), поскольку когда мы придём во вторую вершину, мы уже будем знать, что это медиана и она будет корнем, а остальные две вершины — её детьми. Т.е. расход памяти здесь — на хранение одной вершины, что согласуется с верхней оценкой для дерева из трёх вершин — <tex>\log(3)</tex>.Таким образом, если нужно сэкономить память, то 2 способ перебалансировки дерева {{---}} лучший вариант.
=== Удаление элемента ===
==Источники информации==
*[https://en.wikipedia.org/wiki/Scapegoat_tree Википедия - Scapegoat tree]<br>
*[https://habrahabr.ru/company/infopulse/blog/246759/ Хабрахабр - Scapegoat деревья]<br>
*[https://people.ksp.sk/~kuko/gnarley-trees/ Scapegoat Tree Applet by Kubo Kovac]