Изменения

'''Независимые случайные величины''' - <mathtex> \xi </mathtex> и <mathtex>\eta</mathtex> называются независимыми, если для <mathtex>\forall \alpha </mathtex> и <mathtex>\beta \in \mathbb R</mathtex> события <mathtex> \xi \leqslant \alpha</mathtex> и <mathtex> \eta \leqslant \beta</mathtex> независимы. Иначе говоря, случайная величина <mathtex>\xi</mathtex> называется независимой от величины <mathtex>\eta</mathtex>, если вероятность получить при измерениях некоторое значение величины <mathtex>\xi</mathtex> не зависит от значения величины <mathtex>\eta</mathtex>.

Стоить отметить, что если <mathtex>\xi</mathtex> и <mathtex>\eta</mathtex> - дискретные случайные величины, то достаточно рассматривать случай <mathtex>\xi</mathtex> = <mathtex>\alpha</mathtex>, <mathtex>\eta</mathtex> = <mathtex>\beta</mathtex>. Но не достаточно рассматривать случай <mathtex>\alpha</mathtex> = <mathtex>\beta</mathtex>. Покажем контр-пример для этого случая. Рассмотрим вероятностное пространство честная монета. <mathtex>\Omega</mathtex> = {0, 1}. Пусть <mathtex>\xi</mathtex>(i) = i, <mathtex>\eta</mathtex>(i) = i + 2. Если перебрать все значения <mathtex>\alpha</mathtex> (<mathtex>\alpha</mathtex> = <mathtex>\beta</mathtex>), то можно показать, что события независимы. Но сами случайные величины не являются независимыми.

Рассмотрим вероятностное пространство честная игральная кость <mathtex>\Omega</mathtex> = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. <mathtex>\xi</mathtex> и <mathtex>\eta</mathtex> - случайные величины. <mathtex>\xi</mathtex>(i) = i \mod 2, <mathtex>\eta</mathtex>(i) = [i <mathtex>\geqslant</mathtex> 3]. Пусть <mathtex>\alpha</mathtex> = 0, <mathtex>\beta</mathtex> = 0. Тогда P(<mathtex>\xi \leqslant</mathtex> 0) = 1/2, P(<mathtex>\eta \leqslant</mathtex> 0) = 2/3, P((<mathtex>\xi \leqslant</mathtex> 0)<mathtex>\cap</mathtex>(<mathtex>\eta \leqslant</mathtex> 0)) = 1/3. Эти события независимы, а значит случайные величины <mathtex>\xi</mathtex> и <mathtex>\eta</mathtex> независимы.