Теорема о существовании простого пути в случае существования пути

Теорема о существовании простого пути в случае существования пути

Ориентированный граф. Красным выделен вершинно-простой путь. Синим — реберно-простой путь.

Теорема:

Если между двумя вершинами графа существует путь, то между ними существует вершинно-простой путь.

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

Конструктивное доказательство Рассмотрим путь: [math]v_0e_1v_1e_2v_2 \ldots e_nv_n[/math] между вершинами [math]v_0[/math] и [math]v_n[/math], причём [math]v_0 \neq v_n[/math]. Возьмем [math]v_i[/math] — вершина на данном пути. Если она лежит на данном пути более одного раза, то она принадлежит какому-то (не обязательно простому) циклу [math]v_ie_{i+1}v_{i+1}e_{i+2} \ldots v_{j=i}[/math]. Удалим этот цикл. Получившаяся последовательность вершин и рёбер графа останется путём [math]v_0 \ldots v_n[/math], но не будет содержать найденный цикл. Начнём процесс с вершины [math]v_0[/math] и будем повторять его каждый раз для следующей вершины нового пути, пока не дойдём до последней. По построению, получившийся путь будет содержать каждую из вершин графа не более одного раза, а значит, будет вершинно-простым. Неконструктивное доказательство Выберем из всех путей между данными вершинами путь наименьшей длины. Утверждение: Допустим, что выбранный путь не является простым Тогда в нём содержатся две одинаковые вершины [math]v_i = v_j[/math], [math]i \lt j[/math]. Удалим из исходного пути отрезок от [math]e_{i+1}[/math] до [math]v_j[/math], включительно. Конечная последовательность также будет путём от [math]v_0[/math] до [math]v_n[/math] и станет короче исходной. Получено противоречие с условием: взятый нами путь оказался не кратчайшим. Значит, предположение неверно, выбранный путь — простой.

[math]\triangleleft[/math]

Утверждение:

Данная теорема не верна для случая [math]v_0 = v_n[/math].

[math]\triangleright[/math]

В данном случае мы не сможем найти вершинно-простой путь, так как путь начинается и заканчивается в одной и той же вершине.

[math]\triangleleft[/math]

Замечания

• Так как вершинно-простой путь всегда является рёберно-простым, данная теорема справедлива и для рёберно-простого пути.
• Теорема может быть сформулирована как для ориентированного, так и для неориентированного графа.

См. также

• Основные определения теории графов
• Теорема о существовании простого цикла в случае существования цикла