Факты из математического анализа

Эта статья находится в разработке!

Оценка ряда $f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n)$ с помощью $\int \limits_{1}^{n} f(x) dx$ для монотонных функций.

Утверждение:

Пусть есть ряд состоящий из значений функций: $f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n)$, притом $f_n$ либо монотонно возрастают, либо монотонно убывают. Оценим ряд. Если расходится, то с какой скоростью?

$\triangleright$

Рассмотрим случай, когда ряд из $f_n$ монотонно возрастает. Оценим ряд сверху: ${f(1) + \int \limits_{1}^{n} f(x) dx} \leq {f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n)} \leq {\int \limits_{1}^{n + 1} f(x) dx}$ Аналогично оценим ряд снизу. Теперь рассмотрим случай, когда ряд из $f_n$ монотонно убывает. Оценим ряд снизу: ${\int \limits_{1}^{n} f(x) dx + f(n) \leq f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n) }$. Аналогично оценим ряд сверху: $f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n) \leq f(1) + \int \limits_{2}^{n} f(x) dx$. Таким образом $\sum \limits_{n \leq x} f (n) = \int \limits_{1}^{x} f(t) dt + O(1)$, где $O(1) = c + o(1)$. В итоге $\sum \limits_{n \leq x} f (n) = \int \limits_{1}^{x} f(t) dt + c + o(1)$.

$\triangleleft$

Теорема о $\sum \limits_{n \leq x} \ln x = x \ln x - x + O(\ln x)$

Рассмотрим пример, когда $f(x) = \ln x$

Теорема:

${\sum \limits_{n \leq x} \ln x = x \ln x - x + O(\ln x)}$

Доказательство:

$\triangleright$

Воспользуемся ранее полученным результатом (оценка ряда из монотонно возрастающих $f_n$). $\sum \limits_{n \leq x} \ln (n) \leq \int \limits_{1}^{x + 1} \ln (t) dt = (x + 1) \ln (x + 1) - (x + 1) + 1 = x \ln (x + 1) + \ln (x + 1) - x = x \ln (x) - x + O(\ln (x))$ - оценка сверху. Также оценим снизу: $f(1) + \int \limits_{1}^{n} \ln (x) dx = x \ln(x) - x$ - оценка снизу. В итоге получаем то, что требовалось получить: $\sum \limits_{n \leq x} \ln x = x \ln x - x + O(\ln x)$

$\triangleleft$