Алгоритм Флойда — Уоршалла — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Перенаправление на Алгоритм Флойда)
 
(не показано 27 промежуточных версий 8 участников)
Строка 1: Строка 1:
==Задача==
+
#перенаправление [[Алгоритм Флойда]]
Пусть дано отношение <tex>R</tex> на множестве <tex>X</tex>. Необходимо построить его [[Транзитивное замыкание|транзитивное замыкание]] <tex>\mathrm{TrCl}(R)</tex>.
 
== Алгоритм ==
 
Пусть вершины графа <tex>G=(V,\; E),\; |V| = n</tex> пронумерованы от 1 до <tex>n</tex>. Каждая вершина соответствует элементу множества. А наличие ребра между вершинами означает, что соответствующие элементы множества состоят в отношении. Пусть так же введено булево обозначение <tex>d_{i j}^{k}</tex> для наличия пути (равно true, если есть путь, и false {{---}} в противном случае) от <tex>i</tex> до <tex>j</tex>, который кроме самих вершин <tex>i,\; j</tex> проходит только через вершины <tex>1 \ldots k</tex>(с номерами <tex> \le k </tex>).
 
 
 
Тогда существующий путь между <tex>i,\;j</tex>, проходящий через <tex>k</tex> (сначала он идет от <tex>i</tex> до <tex>k</tex>, а потом от <tex>k</tex> до <tex>j</tex>), очевидно, выражается, как <tex>d_{i j}^{k}=d_{i k}^{k-1} \cap d_{k j}^{k-1}</tex>
 
 
 
Алгоритм Флойда — Уоршелла последовательно вычисляет все значения <tex>d_{i j}^{k}</tex>, <tex>\forall i,\; j</tex> для <tex>k</tex> от 1 до <tex>n</tex>. Полученные значения <tex>d_{i j}^{n}</tex> являются транзитивным замыканием графа.
 
 
 
=== Псевдокод ===
 
 
 
На каждом шаге алгоритм генерирует двумерную матрицу <tex>W</tex>, <tex>w_{ij}=d_{i j}^n</tex>. Матрица <tex>W</tex> содержит транзитивное замыкание графа. Перед работой алгоритма матрица <tex>W</tex> заполняется true или false в зависимости от наличия ребра в графе.
 
 
 
for k = 1 to n
 
  for i = 1 to n
 
    for j = 1 to n
 
      W[i][j] = W[i][k] and W[k][j]
 
 
 
=== Сложность алгоритма ===
 
Три вложенных цикла содержат операцию, исполняемую за константное время.
 
<tex>\sum_{n,\;n,\;n}O(1) = O(n^3),</tex>
 
то есть алгоритм имеет кубическую сложность, при этом простым расширением можно получить также информацию о кратчайших путях — помимо расстояния между двумя узлами записывать матрицу идентификатор первого узла в пути.
 
 
 
== Ссылки ==
 
* [http://e-maxx.ru/algo/floyd_warshall_algorithm Реализация алгоритма Флойда на С++]
 
* [http://plagiata.net.ru/?p=57 Реализация алгоритма Флойда на Delphi]
 
* [http://rain.ifmo.ru/cat/data/vis/graph-paths/floyd-warshall-2004/code.jar Визуализатор]
 
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Заглавная_страница Википедия — свободная энциклопедия]
 

Текущая версия на 19:39, 27 декабря 2015

Перенаправление на: