Вычислимые числа — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(начал пилить статью)
 
(Свойства: доказательство теоремы 1)
Строка 11: Строка 11:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
Число <tex> \alpha </tex> вычислимо тогда и только тогда, когда множество <tex> \{a \in Q \mid a < \alpha \} </tex>, разрешимо.
+
Число <tex> \alpha </tex> вычислимо тогда и только тогда, когда множество <tex>A = \{x \in Q \mid x < \alpha \} </tex>, разрешимо.
 
|proof=
 
|proof=
 +
<tex> \Longrightarrow </tex>:
 +
 +
Построим разрешатель для <tex> A </tex>:
 +
 +
<tex>p(x)</tex>:
 +
  '''for''' <tex> n = 1.. \infty </tex>:
 +
    '''if''' <tex> x < a(\frac1n) - \frac1n </tex>:
 +
      '''return''' 1
 +
    '''if''' <tex> x > a(\frac1n) + \frac1n </tex>:
 +
      '''return''' 0
 +
 +
<tex> \Longleftarrow </tex>:
 +
Построим функцию <tex> a(\varepsilon) </tex>:
 +
 +
<tex> a(\varepsilon) </tex>:
 +
  '''for''' <tex> x \in A </tex>:
 +
    '''if''' <tex> x + \varepsilon \notin A </tex>:
 +
      '''return''' x
 +
 +
Так как <tex> A </tex> разрешимо, <tex> \alpha = \sup A </tex> и для любого <tex> x \in A </tex> проверка в условном операторе завершается за конечное время, то функция <tex> a(\varepsilon) </tex> вычислима для любого рационального <tex> \varepsilon </tex>.
 
}}
 
}}
  
Строка 19: Строка 39:
 
Число <tex> \alpha </tex> вычислимо тогда и только тогда, когда существует вычислимая последовательность рациональных чисел, вычислимо сходящаяся к <tex> \alpha </tex>. {{TODO|t=вычислимо сходящаяся}}
 
Число <tex> \alpha </tex> вычислимо тогда и только тогда, когда существует вычислимая последовательность рациональных чисел, вычислимо сходящаяся к <tex> \alpha </tex>. {{TODO|t=вычислимо сходящаяся}}
 
|proof=
 
|proof=
 +
<tex> \Longrightarrow </tex>:
 +
<tex> \Longleftarrow </tex>:
 
}}
 
}}
  
Строка 25: Строка 47:
 
Пусть числа <tex> \alpha, \beta </tex> вычислимы. Тогда также вычислимы числа <tex> \alpha + \beta </tex>, <tex> \alpha - \beta </tex>, <tex> \alpha \beta </tex> и <tex> \frac \alpha \beta </tex>.
 
Пусть числа <tex> \alpha, \beta </tex> вычислимы. Тогда также вычислимы числа <tex> \alpha + \beta </tex>, <tex> \alpha - \beta </tex>, <tex> \alpha \beta </tex> и <tex> \frac \alpha \beta </tex>.
 
|proof=
 
|proof=
 +
<tex> \Longrightarrow </tex>:
 +
<tex> \Longleftarrow </tex>:
 
}}
 
}}
  

Версия 18:55, 12 января 2013

В математике натуральные, целые и рациональные числа являются конструктивными объектами, поэтому их использование в теории вычислимости не требует особых уточнений. В то же время, действительные числа, которые необходимы для применения методов математического анализа, определяются неконструктивно. Предложенный далее метод позволяет построить конструктивные объекты, во многом схожие с обычными действительными числами.

Вычислимые числа

Определение:
Действительное число [math] \alpha [/math] называется вычислимым (computable number), если существует вычислимая функция [math] a: \mathbb Q \rightarrow \mathbb Q [/math], такая, что [math]|\alpha - a(\varepsilon)| \lt \varepsilon [/math] для любого рационального [math] \varepsilon \gt 0 [/math].


Свойства

Теорема:
Число [math] \alpha [/math] вычислимо тогда и только тогда, когда множество [math]A = \{x \in Q \mid x \lt \alpha \} [/math], разрешимо.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math] \Longrightarrow [/math]:

Построим разрешатель для [math] A [/math]:

[math]p(x)[/math]:
  for [math] n = 1.. \infty [/math]:
    if [math] x \lt  a(\frac1n) - \frac1n [/math]:
      return 1
    if [math] x \gt  a(\frac1n) + \frac1n [/math]:
      return 0

[math] \Longleftarrow [/math]: Построим функцию [math] a(\varepsilon) [/math]:

[math] a(\varepsilon) [/math]:
  for [math] x \in A [/math]:
    if [math] x + \varepsilon \notin A [/math]:
      return x
Так как [math] A [/math] разрешимо, [math] \alpha = \sup A [/math] и для любого [math] x \in A [/math] проверка в условном операторе завершается за конечное время, то функция [math] a(\varepsilon) [/math] вычислима для любого рационального [math] \varepsilon [/math].
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Число [math] \alpha [/math] вычислимо тогда и только тогда, когда существует вычислимая последовательность рациональных чисел, вычислимо сходящаяся к [math] \alpha [/math]. TODO: вычислимо сходящаяся
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math] \Longrightarrow [/math]:

[math] \Longleftarrow [/math]:
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Пусть числа [math] \alpha, \beta [/math] вычислимы. Тогда также вычислимы числа [math] \alpha + \beta [/math], [math] \alpha - \beta [/math], [math] \alpha \beta [/math] и [math] \frac \alpha \beta [/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math] \Longrightarrow [/math]:

[math] \Longleftarrow [/math]:
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Корень многочлена с вычислимыми коэффициентами вычислим.
Теорема:
Предел вычислимо сходящейся вычислимой последовательности вычислимых чисел вычислим.

Перечислимые числа

Определение:
Действительное число [math] \alpha [/math] называется перечислимым снизу (recursively enumerable number), если множество [math] \{ a \in Q \mid a \lt \alpha \} [/math] перечислимо.


Аналогично определяются перечислимые сверху числа.

Свойства

Теорема:
Число [math] \alpha [/math] перечислимо снизу тогда и только тогда, когда существует вычислимая возрастающая последовательность рациональных чисел, пределом которой является [math] \alpha [/math].
Теорема:
Число [math] \alpha [/math] вычислимо тогда и только тогда, когда оно перечислимо сверху и снизу.

Последовательность Шпеккера

Определение:
Пусть [math] A [/math] — некоторое перечислимое, но неразрешимое множество натуральных чисел. Занумеруем его элементы. Последовательностью Шпеккера [math] \{q_n\} [/math] называется последовательность рациональных чисел, [math]n[/math]-ный член которой определяется как [math] q_n = \sum\limits_{k=1}^{n} 2^{-A(n)-1} [/math].


Данная последовательность строго возрастает и ограничена числом [math] 1 [/math], следовательно, по признаку Вейерштрасса, она сходится.

Теорема:
Число [math] q = \lim\limits_{n \to \infty} q_n [/math] перечислимо снизу, но невычислимо.

Ссылки