Классические теоремы теории измеримых функций — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(~25% complete)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 30 промежуточных версий 7 участников)
Строка 1: Строка 1:
 +
[[Сходимость по мере|<<]] [[Математический_анализ_2_курс|>> на главную]]
 +
 +
== Лемма ==
 +
Докажем сначала некоторое полезное вспомогательное утверждение.
 +
 
{{Лемма
 
{{Лемма
|statement=<tex>f_n</tex> {{---}} измерима на <tex>E</tex> и <tex>\mathcal {8}\delta > 0</tex>, <tex>\mu E(| f_n - f_m | \ge \delta)\xrightarrow[n,m \rightarrow 0]{} 0</tex>. Тогда <tex>\exists n_1 < n_2 < \dots < n_k < \dots</tex> для которых <tex>{f_{n_k}}(x) </tex> почти всюду сходится на <tex>E</tex>. <br>  
+
|statement=
(Иначе - из сходимости в себе следует сходимость почти всюду на подпоследовательности).
+
Пусть функциональная последовательность <tex>f_n</tex> {{---}} измерима на <tex>E</tex> и <tex>\mathcal {8}\delta > 0:</tex> <tex>\mu E(| f_n - f_m | \ge \delta)\xrightarrow[n,m \rightarrow \infty]{} 0</tex>. Тогда существует последовательность <tex>\exists n_k </tex>, такая что <tex>\{f_{n_k}(x)\} </tex> почти всюду сходится на <tex>E</tex>. <br>  
 +
(Другими словами, из сходимости по мере в себе функциональной последовательности следует сходимость почти всюду на подпоследовательности).
 
|proof=
 
|proof=
 +
Для начала, докажем следующее утверждение:
 +
 
<tex>f_n \Rightarrow f</tex> на <tex>E</tex>. <tex>\mathcal{8} \delta > 0:</tex><br>
 
<tex>f_n \Rightarrow f</tex> на <tex>E</tex>. <tex>\mathcal{8} \delta > 0:</tex><br>
 
<tex>E(|f_n - f_m| \geq \delta) \subset E(|f_n - f| \geq \frac{\delta}{3}) ~ \cup ~ E(|f_m - f| \geq \frac{\delta}{3}); </tex> <br>
 
<tex>E(|f_n - f_m| \geq \delta) \subset E(|f_n - f| \geq \frac{\delta}{3}) ~ \cup ~ E(|f_m - f| \geq \frac{\delta}{3}); </tex> <br>
 
<tex>\mu E(|f_n - f_m| \geq \delta) \leq \mu E(|f_n - f| \geq \frac{\delta}{3})(\rightarrow 0) + E(|f_m - f| \geq \frac{\delta}{3})(\rightarrow 0)</tex>
 
<tex>\mu E(|f_n - f_m| \geq \delta) \leq \mu E(|f_n - f| \geq \frac{\delta}{3})(\rightarrow 0) + E(|f_m - f| \geq \frac{\delta}{3})(\rightarrow 0)</tex>
(т.е. из сходимости по мере вытекает сходимость по мере в себе)
 
  
Возьмём <tex>\forall \varepsilon_k > 0, \sum\limits_{k = 1}^\infty \varepsilon_k < +\infty</tex>. Например, <tex>\varepsilon_k = \frac{1}{2^k}</tex>.
+
То есть, из сходимости по мере вытекает сходимость по мере в себе.
  
В силу условия леммы, <tex>\forall \varepsilon_k\ \exists n_1\ forall n, m > n_1 : \mu E(|f_n - f_m| \geq \varepsilon_1) < \varepsilon_1</tex>
+
Возьмём <tex> \varepsilon_k > 0, \sum\limits_{k = 1}^\infty \varepsilon_k < +\infty</tex>. Например, <tex>\varepsilon_k = \frac{1}{2^k}</tex>.
  
<tex>m = n_1</tex>, <tex>\forall n \geq m</tex>
+
В силу условия леммы, для <tex>\varepsilon_1\ \exists n_1 \forall n, m > n_1 : \mu E(|f_n - f_m| \geq \varepsilon_1) < \varepsilon_1</tex>
 +
 
 +
Рассмотрим <tex>m = n_1</tex>, <tex>\forall n \geq m</tex>:
  
 
<tex>\varepsilon_2 : \exists n_2 > n_1\ \forall n > n_2 : \mu E(|f_n - f_{n_2}| \geq \varepsilon_2) < \varepsilon_2</tex>
 
<tex>\varepsilon_2 : \exists n_2 > n_1\ \forall n > n_2 : \mu E(|f_n - f_{n_2}| \geq \varepsilon_2) < \varepsilon_2</tex>
Строка 28: Строка 37:
 
<tex>B_k = \bigcup\limits_{j=k}^\infty E(|f_{n_{j + 1}} - f_{n_j}| \geq \varepsilon_j)</tex>
 
<tex>B_k = \bigcup\limits_{j=k}^\infty E(|f_{n_{j + 1}} - f_{n_j}| \geq \varepsilon_j)</tex>
  
<tex>\mu B_k \leq \sum\limits_{j=k}^\infty \mu E(|f_{n_{j + 1}} - f_{n_j}| \geq \varepsilon_j) < \sum\limits_{j = k}^\infty \varepsilon_j \o 0</tex> как остаток сходящегося положительного ряда <tex>\varepsilon_k</tex>.
+
<tex>\mu B_k \leq \sum\limits_{j=k}^\infty \mu E(|f_{n_{j + 1}} - f_{n_j}| \geq \varepsilon_j) < \sum\limits_{j = k}^\infty \varepsilon_j \rightarrow 0</tex> как остаток сходящегося положительного ряда <tex>\varepsilon_k</tex>.
  
 
<tex>B = \bigcap\limits_{k=1}^\infty B_k</tex>, <tex>B \subset B_k</tex>, по монотонности меры, <tex>\mu B \leq \mu B_k \to 0</tex>. Значит, <tex>\mu B = 0</tex>.
 
<tex>B = \bigcap\limits_{k=1}^\infty B_k</tex>, <tex>B \subset B_k</tex>, по монотонности меры, <tex>\mu B \leq \mu B_k \to 0</tex>. Значит, <tex>\mu B = 0</tex>.
  
<tex>B</tex> {{---}} нульмерное множество. Рассмотрим <tex>A = E \setminus B</tex> и установим, что на этом множестве последовательность функций <tex>\{f_{n_k}\}</tex> сходится. А тогда, в силу нульмерности <tex>B</tex>, что она сходится на <tex>E</tex> уже почти всюду.
+
Рассмотрим <tex>A = E \setminus B</tex> и установим, что на этом множестве последовательность функций <tex>\{f_{n_k}\}</tex> сходится. Тогда, в силу нульмерности <tex>B</tex>, что она будет сходиться на <tex>E</tex> уже почти всюду.
  
<tex>A = \bar B = \bigcap\limits_{k=1}^\infty \bar B_k</tex>
+
<tex>A = \bar B = \bigcup\limits_{k=1}^\infty \bar B_k</tex>.
  
<tex>x \in A : \exists k_x : x \in \bar B_{k_x}</tex>
+
Так как <tex>x \in A </tex>, то есть <tex> k_x </tex>, такой, что <tex> x \in \bar B_{k_x}</tex>.
  
<tex>\bar B_{k_x} = \bigcap\limits_{j=k_x}^\infty E(|f_{n_{j + 1}} - f_{n_j} < \varepsilon_j|)</tex>
+
<tex>\bar B_{k_x} = \bigcap\limits_{j=k_x}^\infty E(|f_{n_{j + 1}} - f_{n_j}| < \varepsilon_j)</tex>
  
 
Раз <tex>x \in \bar B_{k_x}</tex>, <tex>\forall j \geq k_x : |f_{n_{j + 1}}(x) - f_{n_j}(x)| < \varepsilon_j</tex>
 
Раз <tex>x \in \bar B_{k_x}</tex>, <tex>\forall j \geq k_x : |f_{n_{j + 1}}(x) - f_{n_j}(x)| < \varepsilon_j</tex>
  
<tex>f_{n_1}(x) + \sum\limits_{j = 1}^\infty(f_{n_{j + 1}}(x) - f_{n_j}(x))</tex>
+
Рассмотрим теперь выражение <tex>f_{n_1}(x) + \sum\limits_{j = 1}^\infty(f_{n_{j + 1}}(x) - f_{n_j}(x))</tex>:
  
Для заданного <tex>x</tex> начиная с <tex>j = k</tex>, <tex>|f_{n_{j + 1}}(x) - f_{n_j}(x) | </tex> начнут мажорироваться сходящимся рядом <tex>\varepsilon_k</tex>. Тогда этот ряд сходится. Значит, <tex>\forall x\leq A</tex> функциональная последовательность сходится.
+
Для заданного <tex>x</tex> начиная с <tex>j = k_x</tex>, <tex>|f_{n_{j + 1}}(x) - f_{n_j}(x) | </tex> начнут мажорироваться сходящимся рядом <tex>\varepsilon_k</tex>. Тогда этот ряд сходится. Значит, <tex>\forall x\in A</tex> функциональная последовательность сходится.
 
}}
 
}}
 +
 +
== Связь сходимости по мере и почти всюду ==
 +
 +
Разделим <tex>[0; 1]</tex> на <tex>m</tex> равных частей. <tex>E = [0; 1]</tex>.
 +
 +
<tex>k = 0, 1 \ldots m - 1 : f_{k, m}(x) = \begin{cases}0, & x \notin \left[\frac{k}m; \frac{k+1}m\right]\\1, & x \in \left[ \frac{k}m; \frac{k+1}m \right] \end{cases}</tex>
 +
 +
Растягиваем таблицу из этих функций в строчку:
 +
<tex>f_{1,1}, f_{1,2}, f_{2, 2}, f_{1,3}, f_{2,3}, f_{3, 3}, \ldots</tex> {{---}} функциональная последовательность.
 +
 +
<tex>E(|f_{k,m}(x)|\geq \delta)</tex>, <tex>\delta > 0</tex>. В силу определений этих функций очевидно, что <tex>\lambda E(|f_{k,m}(x)| \geq \delta) \leq \frac1m</tex>
 +
 +
Очевидно, что <tex>f_{k,m} \Rightarrow 0</tex>
 +
 +
С другой стороны, очевидно, что к <tex>0</tex> она почти всюду не стремится, ибо при <tex>x \in \left[ \frac{k_x}m; \frac{k_x + 1}m \right] \ f_{k_x, m} = 1</tex>.
 +
 +
Мы можем строить подпоследовательность функций, которые равны <tex>1</tex>, значит, стремятся к <tex>1</tex>. Аналогично с нулём.
 +
 +
Мы получили пример того, что даже на множестве конечной меры, из сходимости по мере сходимость почти всюду не следует.
 +
 +
== Теорема Рисса ==
 +
 +
{{Теорема
 +
|author=Фердинанд Рисс
 +
|statement=Пусть последовательность функций сходится по мере к функции <tex>f</tex> на <tex>E</tex>. Тогда из неё можно выделить подпоследовательность, которая сходится почти всюду на <tex>E</tex> к <tex> f </tex>.
 +
|proof=
 +
Выше мы показали, что если <tex>f_n \Rightarrow f</tex>, то <tex>|f_n - f_m| \Rightarrow 0</tex>, <tex>n,m \to \infty</tex>.
 +
 +
Тогда, пользуясь леммой, выделяем требуемую последовательность функций.
 +
}}
 +
 +
== Теорема Лузина ==
 +
 +
{{Теорема
 +
|author=Лузин
 +
|statement=<tex>E \subset \mathbb{R}^n</tex>, <tex>f</tex> {{---}} измерима на <tex>E</tex> по мере Лебега. Тогда <tex>\forall\varepsilon>0\ \exists \varphi</tex> {{---}} непрерывная на <tex>\mathbb{R}^n</tex>, <tex>\lambda_nE(f\ne\varphi)<\varepsilon</tex>
 +
|proof=Это же очевидно!
 +
 +
<nowiki>[[Файл:dodonovface.jpg]]</nowiki>
 +
Кому не очевидно, то можно почитать тут [http://www.mathnet.ru/links/f55866d9deee67d3fd18d61f906239b1/sm6497.pdf].
 +
}}
 +
 +
Это принято называть <tex>C</tex>-свойством Лузина.
 +
 +
Если, помимо всего прочего, <tex>f(x)</tex> ограничена <tex>M</tex> на <tex>E</tex>, то <tex>\varphi</tex> можно подобрать таким образом, что она ограничена той же постоянной на <tex>\mathbb{R}^n</tex>.
 +
 +
== Теорема Фреше ==
 +
{{Теорема
 +
|author=Фреше
 +
|statement=<tex>E\subset \mathbb{R}^n</tex>, <tex>f</tex> {{---}} измерима на <tex>E</tex>. Тогда <tex>\exists\varphi_n</tex> {{---}} последовательность непрерывных на <tex>\mathbb{R}^n</tex> функций, такая, что <tex>\varphi_n\to f</tex> почти всюду на <tex>E</tex>.
 +
|proof=
 +
Пусть <tex>\varepsilon_n \to 0</tex>. По теореме Лузина, <tex>\forall\varepsilon_n\ \exists\varphi_n</tex> {{---}} непрерывная:
 +
 +
<tex>\forall \delta>0: \lambda E(|\varphi_n - f| > \delta) < \lambda E(\varphi_n \ne f)</tex>.
 +
 +
<tex>\lambda E(|\varphi_n - f| > \delta) \leq \lambda E(\varphi_n \ne f) < \varepsilon_n \to 0</tex>. Значит, <tex>\lambda E(|\varphi_n-f| > \delta) \to 0</tex>. Значит, <tex>\varphi_n \Rightarrow f</tex>.
 +
 +
По теореме Рисса, <tex>\exists\varphi_{n_k} \to f</tex> почти всюду на <tex>E</tex>
 +
}}
 +
 +
== Теорема Егорова ==
 +
Д.Ф. Егоров {{---}} основатель московской школы теории функций. Не понравился Сталину, жизнь закончил в городе Казань.
 +
 +
{{Теорема
 +
|author=Егоров
 +
|statement=Пусть <tex>\mu E < +\infty</tex>, <tex>f_n \to f</tex> почти всюду на <tex>E</tex>. Тогда, для любого <tex>\delta > 0: \exists E'' \subset E</tex>, <tex>\mu E'' > \mu E - \delta</tex>, <tex>f_n \stackrel{E''}{\rightrightarrows} f</tex> <br>
 +
Смысл теоремы Егорова в том, что сходимость почти всюду не очень сильно (с точностью до множества малой меры) отличается от равномерной сходимости.
 +
|proof=
 +
<tex>\bigcup\limits_{p=1}^\infty \bigcap\limits_{m=1}^\infty \bigcup\limits_{n=m}^\infty E(|f_n - f| \geq \frac1p)</tex> {{---}} нульмерно.
 +
 +
Пусть <tex>B_m(p) = \bigcup\limits_{n=m}^\infty E(|f_n - f| \geq \frac1p) \supset B_{m+1}(p)</tex>
 +
 +
В силу конечности меры <tex>E</tex>, из <tex>\sigma</tex>-аддитивности, <tex>\mu B_m(p) \xrightarrow[m\to\infty]{} \mu\bigcap\limits_{m=1}^\infty B_m(p)</tex> (этот факт был установлен нами ранее, при доказательстве теоремы Лебега).
 +
 +
Но любое пересечение содержится в объединении <tex>\bigcap\limits_{m=1}^\infty B_m(p)\subset \bigcup\limits_{p=1}^\infty \bigcap\limits_{m=1}^\infty B_m(p)</tex> {{---}} нульмерно <tex>\Rightarrow</tex> по монотонности меры, <tex>\mu\bigcap\limits_{m=1}^\infty B_m(p) = 0</tex>.
 +
 +
Для <tex>\frac{\delta}{2^p} </tex> существует <tex> B_{m_j}(p) : \mu B_{m_j}(p) < \frac{\delta}{2^p}</tex>.
 +
 +
<tex>E' = \bigcup\limits_{p=1}^\infty B_{m_p}(p)</tex>
 +
 +
По полуаддитивности меры, <tex>\mu E' \leq \sum\limits_{p=1}^\infty B_{m_p}(p) \leq \sum\limits_{p=1}^\infty \frac\delta{2^p} = \delta</tex>.
 +
 +
<tex>\mu E' < \delta</tex>, <tex>\bar E' = E \setminus E'</tex>, значит,
 +
<tex>\mu \bar E' = \mu E - \mu E' > \mu E - \delta</tex>.
 +
 +
Пусть <tex> E'' = \bar E' </tex>.
 +
 +
По двойственности, <tex>\bar E' = \overline{\bigcup\limits_{p=1}^\infty B_{m_p}(p)} = \bigcap\limits_{p=1}^\infty \overline{B_{m_p}(p)}</tex>.
 +
 +
<tex>B_{m_p}(p) = \bigcup\limits_{n=m_p}^\infty E(|f_n - f| \geq \frac1p)</tex>. Значит, <tex>\bar B_{m_p}(p) = \bigcap\limits_{n=m_p}^\infty E(|f_n - f| < \frac1p)</tex>;
 +
 +
Окончательно получается, что <tex>\bar E' = \bigcap\limits_{p=1}^\infty \bigcap\limits_{n=m_p}^\infty E(|f_n - f| < \frac1p)</tex>.
 +
 +
<tex>\mu\bar E' > \mu E - \delta</tex>
 +
 +
<tex>\forall x \in \bar E' \Rightarrow \forall p=1,2,\ldots x \in \bigcap\limits_{n=m_p}^\infty E(|f_n - f| < \frac1p)</tex>. Значит, <tex>\forall n > m_p : |f_n(x) - f(x)| \leq \frac1p</tex>.
 +
 +
В силу того, что номер <tex>m_p</tex> выбирается независимо от <tex>x</tex>, а только по <tex>\delta</tex> и <tex>p</tex>, <tex>f_n \stackrel{\bar E''}{\rightrightarrows} f</tex>.
 +
}}
 +
 +
[[Сходимость по мере|<<]] [[Математический_анализ_2_курс|>> на главную]]
 +
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Текущая версия на 19:39, 4 сентября 2022

<< >> на главную

Лемма

Докажем сначала некоторое полезное вспомогательное утверждение.

Лемма:
Пусть функциональная последовательность [math]f_n[/math] — измерима на [math]E[/math] и [math]\mathcal {8}\delta \gt 0:[/math] [math]\mu E(| f_n - f_m | \ge \delta)\xrightarrow[n,m \rightarrow \infty]{} 0[/math]. Тогда существует последовательность [math]\exists n_k [/math], такая что [math]\{f_{n_k}(x)\} [/math] почти всюду сходится на [math]E[/math].
(Другими словами, из сходимости по мере в себе функциональной последовательности следует сходимость почти всюду на подпоследовательности).
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Для начала, докажем следующее утверждение:

[math]f_n \Rightarrow f[/math] на [math]E[/math]. [math]\mathcal{8} \delta \gt 0:[/math]
[math]E(|f_n - f_m| \geq \delta) \subset E(|f_n - f| \geq \frac{\delta}{3}) ~ \cup ~ E(|f_m - f| \geq \frac{\delta}{3}); [/math]
[math]\mu E(|f_n - f_m| \geq \delta) \leq \mu E(|f_n - f| \geq \frac{\delta}{3})(\rightarrow 0) + E(|f_m - f| \geq \frac{\delta}{3})(\rightarrow 0)[/math]

То есть, из сходимости по мере вытекает сходимость по мере в себе.

Возьмём [math] \varepsilon_k \gt 0, \sum\limits_{k = 1}^\infty \varepsilon_k \lt +\infty[/math]. Например, [math]\varepsilon_k = \frac{1}{2^k}[/math].

В силу условия леммы, для [math]\varepsilon_1\ \exists n_1 \forall n, m \gt n_1 : \mu E(|f_n - f_m| \geq \varepsilon_1) \lt \varepsilon_1[/math]

Рассмотрим [math]m = n_1[/math], [math]\forall n \geq m[/math]:

[math]\varepsilon_2 : \exists n_2 \gt n_1\ \forall n \gt n_2 : \mu E(|f_n - f_{n_2}| \geq \varepsilon_2) \lt \varepsilon_2[/math]

Раз [math]n_2 \gt n_1[/math], [math]\mu E(|f_{n_2} - f_{n_1}| \geq \varepsilon_1) \lt \varepsilon_1[/math] (По выбору [math]n_1[/math])

[math]\varepsilon_3 : \exists n_3 \gt n_2\ \forall n \gt n_3 : \mu E(|f_n - f_{n_3}| \geq \varepsilon_3) \lt \varepsilon_3[/math]

Раз [math]n_3 \gt n_2[/math], [math]\mu E(|f_{n_3} - f_{n_2}| \geq \varepsilon_2) \lt \varepsilon_2[/math]

Продолжаем по индукции [math]n_1 \lt n_2 \lt n_3 \lt \cdots[/math]:

[math]\mu E(|f_{n_{k + 1}} - f_{n_k}| \geq \varepsilon_k) \lt \varepsilon_k[/math]

[math]B_k = \bigcup\limits_{j=k}^\infty E(|f_{n_{j + 1}} - f_{n_j}| \geq \varepsilon_j)[/math]

[math]\mu B_k \leq \sum\limits_{j=k}^\infty \mu E(|f_{n_{j + 1}} - f_{n_j}| \geq \varepsilon_j) \lt \sum\limits_{j = k}^\infty \varepsilon_j \rightarrow 0[/math] как остаток сходящегося положительного ряда [math]\varepsilon_k[/math].

[math]B = \bigcap\limits_{k=1}^\infty B_k[/math], [math]B \subset B_k[/math], по монотонности меры, [math]\mu B \leq \mu B_k \to 0[/math]. Значит, [math]\mu B = 0[/math].

Рассмотрим [math]A = E \setminus B[/math] и установим, что на этом множестве последовательность функций [math]\{f_{n_k}\}[/math] сходится. Тогда, в силу нульмерности [math]B[/math], что она будет сходиться на [math]E[/math] уже почти всюду.

[math]A = \bar B = \bigcup\limits_{k=1}^\infty \bar B_k[/math].

Так как [math]x \in A [/math], то есть [math] k_x [/math], такой, что [math] x \in \bar B_{k_x}[/math].

[math]\bar B_{k_x} = \bigcap\limits_{j=k_x}^\infty E(|f_{n_{j + 1}} - f_{n_j}| \lt \varepsilon_j)[/math]

Раз [math]x \in \bar B_{k_x}[/math], [math]\forall j \geq k_x : |f_{n_{j + 1}}(x) - f_{n_j}(x)| \lt \varepsilon_j[/math]

Рассмотрим теперь выражение [math]f_{n_1}(x) + \sum\limits_{j = 1}^\infty(f_{n_{j + 1}}(x) - f_{n_j}(x))[/math]:

Для заданного [math]x[/math] начиная с [math]j = k_x[/math], [math]|f_{n_{j + 1}}(x) - f_{n_j}(x) | [/math] начнут мажорироваться сходящимся рядом [math]\varepsilon_k[/math]. Тогда этот ряд сходится. Значит, [math]\forall x\in A[/math] функциональная последовательность сходится.
[math]\triangleleft[/math]

Связь сходимости по мере и почти всюду

Разделим [math][0; 1][/math] на [math]m[/math] равных частей. [math]E = [0; 1][/math].

[math]k = 0, 1 \ldots m - 1 : f_{k, m}(x) = \begin{cases}0, & x \notin \left[\frac{k}m; \frac{k+1}m\right]\\1, & x \in \left[ \frac{k}m; \frac{k+1}m \right] \end{cases}[/math]

Растягиваем таблицу из этих функций в строчку: [math]f_{1,1}, f_{1,2}, f_{2, 2}, f_{1,3}, f_{2,3}, f_{3, 3}, \ldots[/math] — функциональная последовательность.

[math]E(|f_{k,m}(x)|\geq \delta)[/math], [math]\delta \gt 0[/math]. В силу определений этих функций очевидно, что [math]\lambda E(|f_{k,m}(x)| \geq \delta) \leq \frac1m[/math]

Очевидно, что [math]f_{k,m} \Rightarrow 0[/math]

С другой стороны, очевидно, что к [math]0[/math] она почти всюду не стремится, ибо при [math]x \in \left[ \frac{k_x}m; \frac{k_x + 1}m \right] \ f_{k_x, m} = 1[/math].

Мы можем строить подпоследовательность функций, которые равны [math]1[/math], значит, стремятся к [math]1[/math]. Аналогично с нулём.

Мы получили пример того, что даже на множестве конечной меры, из сходимости по мере сходимость почти всюду не следует.

Теорема Рисса

Теорема (Фердинанд Рисс):
Пусть последовательность функций сходится по мере к функции [math]f[/math] на [math]E[/math]. Тогда из неё можно выделить подпоследовательность, которая сходится почти всюду на [math]E[/math] к [math] f [/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Выше мы показали, что если [math]f_n \Rightarrow f[/math], то [math]|f_n - f_m| \Rightarrow 0[/math], [math]n,m \to \infty[/math].

Тогда, пользуясь леммой, выделяем требуемую последовательность функций.
[math]\triangleleft[/math]

Теорема Лузина

Теорема (Лузин):
[math]E \subset \mathbb{R}^n[/math], [math]f[/math] — измерима на [math]E[/math] по мере Лебега. Тогда [math]\forall\varepsilon\gt 0\ \exists \varphi[/math] — непрерывная на [math]\mathbb{R}^n[/math], [math]\lambda_nE(f\ne\varphi)\lt \varepsilon[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Это же очевидно!

[[Файл:dodonovface.jpg]]

Кому не очевидно, то можно почитать тут [1].
[math]\triangleleft[/math]

Это принято называть [math]C[/math]-свойством Лузина.

Если, помимо всего прочего, [math]f(x)[/math] ограничена [math]M[/math] на [math]E[/math], то [math]\varphi[/math] можно подобрать таким образом, что она ограничена той же постоянной на [math]\mathbb{R}^n[/math].

Теорема Фреше

Теорема (Фреше):
[math]E\subset \mathbb{R}^n[/math], [math]f[/math] — измерима на [math]E[/math]. Тогда [math]\exists\varphi_n[/math] — последовательность непрерывных на [math]\mathbb{R}^n[/math] функций, такая, что [math]\varphi_n\to f[/math] почти всюду на [math]E[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]\varepsilon_n \to 0[/math]. По теореме Лузина, [math]\forall\varepsilon_n\ \exists\varphi_n[/math] — непрерывная:

[math]\forall \delta\gt 0: \lambda E(|\varphi_n - f| \gt \delta) \lt \lambda E(\varphi_n \ne f)[/math].

[math]\lambda E(|\varphi_n - f| \gt \delta) \leq \lambda E(\varphi_n \ne f) \lt \varepsilon_n \to 0[/math]. Значит, [math]\lambda E(|\varphi_n-f| \gt \delta) \to 0[/math]. Значит, [math]\varphi_n \Rightarrow f[/math].

По теореме Рисса, [math]\exists\varphi_{n_k} \to f[/math] почти всюду на [math]E[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Теорема Егорова

Д.Ф. Егоров — основатель московской школы теории функций. Не понравился Сталину, жизнь закончил в городе Казань.

Теорема (Егоров):
Пусть [math]\mu E \lt +\infty[/math], [math]f_n \to f[/math] почти всюду на [math]E[/math]. Тогда, для любого [math]\delta \gt 0: \exists E'' \subset E[/math], [math]\mu E'' \gt \mu E - \delta[/math], [math]f_n \stackrel{E''}{\rightrightarrows} f[/math]
Смысл теоремы Егорова в том, что сходимость почти всюду не очень сильно (с точностью до множества малой меры) отличается от равномерной сходимости.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math]\bigcup\limits_{p=1}^\infty \bigcap\limits_{m=1}^\infty \bigcup\limits_{n=m}^\infty E(|f_n - f| \geq \frac1p)[/math] — нульмерно.

Пусть [math]B_m(p) = \bigcup\limits_{n=m}^\infty E(|f_n - f| \geq \frac1p) \supset B_{m+1}(p)[/math]

В силу конечности меры [math]E[/math], из [math]\sigma[/math]-аддитивности, [math]\mu B_m(p) \xrightarrow[m\to\infty]{} \mu\bigcap\limits_{m=1}^\infty B_m(p)[/math] (этот факт был установлен нами ранее, при доказательстве теоремы Лебега).

Но любое пересечение содержится в объединении [math]\bigcap\limits_{m=1}^\infty B_m(p)\subset \bigcup\limits_{p=1}^\infty \bigcap\limits_{m=1}^\infty B_m(p)[/math] — нульмерно [math]\Rightarrow[/math] по монотонности меры, [math]\mu\bigcap\limits_{m=1}^\infty B_m(p) = 0[/math].

Для [math]\frac{\delta}{2^p} [/math] существует [math] B_{m_j}(p) : \mu B_{m_j}(p) \lt \frac{\delta}{2^p}[/math].

[math]E' = \bigcup\limits_{p=1}^\infty B_{m_p}(p)[/math]

По полуаддитивности меры, [math]\mu E' \leq \sum\limits_{p=1}^\infty B_{m_p}(p) \leq \sum\limits_{p=1}^\infty \frac\delta{2^p} = \delta[/math].

[math]\mu E' \lt \delta[/math], [math]\bar E' = E \setminus E'[/math], значит, [math]\mu \bar E' = \mu E - \mu E' \gt \mu E - \delta[/math].

Пусть [math] E'' = \bar E' [/math].

По двойственности, [math]\bar E' = \overline{\bigcup\limits_{p=1}^\infty B_{m_p}(p)} = \bigcap\limits_{p=1}^\infty \overline{B_{m_p}(p)}[/math].

[math]B_{m_p}(p) = \bigcup\limits_{n=m_p}^\infty E(|f_n - f| \geq \frac1p)[/math]. Значит, [math]\bar B_{m_p}(p) = \bigcap\limits_{n=m_p}^\infty E(|f_n - f| \lt \frac1p)[/math];

Окончательно получается, что [math]\bar E' = \bigcap\limits_{p=1}^\infty \bigcap\limits_{n=m_p}^\infty E(|f_n - f| \lt \frac1p)[/math].

[math]\mu\bar E' \gt \mu E - \delta[/math]

[math]\forall x \in \bar E' \Rightarrow \forall p=1,2,\ldots x \in \bigcap\limits_{n=m_p}^\infty E(|f_n - f| \lt \frac1p)[/math]. Значит, [math]\forall n \gt m_p : |f_n(x) - f(x)| \leq \frac1p[/math].

В силу того, что номер [math]m_p[/math] выбирается независимо от [math]x[/math], а только по [math]\delta[/math] и [math]p[/math], [math]f_n \stackrel{\bar E''}{\rightrightarrows} f[/math].
[math]\triangleleft[/math]

<< >> на главную