Классические теоремы теории измеримых функций

Лемма:

[math]f_n[/math] — измерима на [math]E[/math] и [math]\mathcal {8}\delta \gt 0[/math], [math]\mu E(| f_n - f_m | \ge \delta)\xrightarrow[n,m \rightarrow 0]{} 0[/math]. Тогда [math]\exists n_1 \lt n_2 \lt \dots \lt n_k \lt \dots[/math] для которых [math]{f_{n_k}}(x) [/math] почти всюду сходится на [math]E[/math]. (Иначе - из сходимости в себе следует сходимость почти всюду на подпоследовательности).

Доказательство:

[math]\triangleright[/math]

[math]f_n \Rightarrow f[/math] на [math]E[/math]. [math]\mathcal{8} \delta \gt 0:[/math] [math]E(|f_n - f_m| \geq \delta) \subset E(|f_n - f| \geq \frac{\delta}{3}) ~ \cup ~ E(|f_m - f| \geq \frac{\delta}{3}); [/math] [math]\mu E(|f_n - f_m| \geq \delta) \leq \mu E(|f_n - f| \geq \frac{\delta}{3})(\rightarrow 0) + E(|f_m - f| \geq \frac{\delta}{3})(\rightarrow 0)[/math] (т.е. из сходимости по мере вытекает сходимость по мере в себе)

[math]\triangleleft[/math]